Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({\left( {y + 1} \right)^2}\ln \left( {{x^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{y + 2}}}

Câu hỏi số 553567:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

\({\left( {y + 1} \right)^2}\ln \left( {{x^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{y + 2}}} \right) + \) \(\left[ {{x^2} + \left( {{x^2} - 1} \right)y - 2} \right]\left[ {3{x^2} + \left( {3{x^2} + 5} \right)y + 10} \right] = 0\).

Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + \dfrac{y}{2}\) có dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2}\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {3;5} \right)\).

B. \(\left( {2;3} \right)\).

C. \(\left( {0;1} \right)\).

D. \(\left( {1;2} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553567

Phương pháp giải

Xét các TH để suy ra \({x^2}\left( {y + 1} \right) = y + 2\).

Dùng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {y + 1} \right)^2}\ln \left( {{x^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{y + 2}}} \right) + \left[ {{x^2} + \left( {{x^2} - 1} \right)y - 2} \right]\left[ {3{x^2} + \left( {3{x^2} + 5} \right)y + 10} \right] = 0\).

\( \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2}\left[ {\ln \left( {{x^2}\left( {y + 1} \right)} \right) - \ln \left( {y + 2} \right)} \right] + \left[ {{x^2}\left( {y + 1} \right) - \left( {y + 2} \right)} \right]\left[ {3{x^2} + \left( {3{x^2} + 5} \right)y + 10} \right] = 0\,\,\left( 1 \right)\).

Nếu \({x^2}\left( {y + 1} \right) < y + 2 \Rightarrow VT\left( 1 \right) < 0\).

Nếu \({x^2}\left( {y + 1} \right) > y + 2 \Rightarrow VT\left( 1 \right) > 0\).

Do đó \({x^2}\left( {y + 1} \right) = y + 2\).

Ta có: \(P = {x^2} + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{y + 1}} + \dfrac{y}{2} = 1 + \dfrac{1}{{y + 1}} + \dfrac{{y + 1}}{2} - \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{y + 1}}.\dfrac{{y + 1}}{2}} = \dfrac{1}{2} + \sqrt 2 \).

Vậy \(a = \dfrac{1}{2},\,\,b = 1 \Rightarrow S = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 1,25 \in \left( {1;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.