Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;0}

Câu hỏi số 553568:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\), tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm khác \(A\) có hoành độ bằng 0 và 2. Hình phẳng giới hạn bới \(d,\,\,\left( C \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0,\,\,x = 2\) có diện tích bằng \(S = \dfrac{{28}}{5}\) (hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,\,\,x = 0\).

A. \(\dfrac{6}{5}\)

B. \(\dfrac{9}{5}\).

C. \(\dfrac{7}{5}\).

D. \(\dfrac{8}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553568

Giải chi tiết

Ta có: \(A\left( { - 1;0} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow a + b + c = 0\).

\(\begin{array}{l}y' = 4a{x^3} + 2bx\\ \Rightarrow y'\left( 1 \right) = - 4a - 2b\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là: \(d:\,\,y = \left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d,\,\,\left( C \right)\) là \(\left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\)

Do \(x = 0,\,\,x = 2\) là hoành độ giao điểm của \(d,\,\,\left( C \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b = c\\ - 12a - 6b = 16a + b + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 0\\28a + 10b + c = 0\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có diện tích phần tô đậm \(S = \dfrac{{28}}{5}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^2 {\left[ {\left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right) - a{x^4} - b{x^2} - c} \right]dx = \dfrac{{28}}{5}} \\ \Rightarrow \int\limits_0^2 {\left[ { - a{x^4} - b{x^2} - \left( {4a - 2b} \right)x - 4a - 2b - c} \right]dx = \dfrac{{28}}{5}} \\ \Rightarrow \left. {\dfrac{{ - a{x^5}}}{5} - \dfrac{{b{x^3}}}{3} - \left( {2a - b} \right){x^2} - \left( {4a + 2b + c} \right)x} \right|_0^2 = \dfrac{{28}}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 112}}{3}a - \dfrac{{32b}}{3} - 2c = \dfrac{{28}}{5}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow y = {x^4} - 3{x^2} + 2\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,\,\,x = 0\) là

\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right)dx = \dfrac{6}{5}} \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.