Chứng minh rằng luôn tồn tại một số có dạng \(20222022...202200...0\) chia hết cho

Câu hỏi số 554345:

Vận dụng

Chứng minh rằng luôn tồn tại một số có dạng \(20222022...202200...0\) chia hết cho \(2021\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554345

Phương pháp giải

Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt \(n\) thỏ vào \(m\) chuồng \(\left( {n > m} \right)\), nghĩa là số thỏ nhiều hơn số chuồng, thì ít nhất cùng có một chuồng nhốt không ít hơn hai thỏ.

Giải chi tiết

Xét \(2022\) số hạng sau: \(2022;20222022;...;\underbrace {20222022...2022}_{2022}\)

Khi chi cho \(2021\) ta có thể có \(2021\) số dư: \(0;1;2;3;...;2020\)

Số thỏ: \(2022\) con ; Số lồng: \(2021\) lồng.

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(2021\).

Giả sử hai số đó là: \(a = \underbrace {20222022...2022}_m;b = \underbrace {20222022...2022}_n\left( {m > n} \right)\)

Ta có: \(a - b = \underbrace {20222022...2022}_m - \underbrace {20222022...2022}_n = \underbrace {20222022...2022}_{m - n}\underbrace {00...0}_n = \underbrace {20222022...2022}_{m - n}{.10^n} \vdots 2021\)

Vì \(\left. \begin{array}{l}\underbrace {20222022...2022}_{m - n}{.10^m} \vdots 2021\\\left( {{{10}^m},2021} \right) = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \underbrace {20222022...2022}_{m - n} \vdots 2021\)

Vậy luôn tồn tại một số có dạng \(20222022...202200...0\) chia hết cho \(2021\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link