Chứng minh rằng tồn tại \(1\) số tự nhiên được tạo nên từ các chữ số \(1\), chia hết cho

Câu hỏi số 554346:

Vận dụng

Chứng minh rằng tồn tại \(1\) số tự nhiên được tạo nên từ các chữ số \(1\), chia hết cho \(2022\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554346

Phương pháp giải

Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt \(n\) thỏ vào \(m\) chuồng \(\left( {n > m} \right)\), nghĩa là số thỏ nhiều hơn số chuồng, thì ít nhất cùng có một chuồng nhốt không ít hơn hai thỏ.

Giải chi tiết

Xét \(2023\) số hạng có dạng: \(1;11;111;...;\underbrace {11...11}_{2023}\)

Khi chia cho \(2022\) có thể có \(2022\) số dư là: \(0;1;2;...;2021\)

Số thỏ: \(2023\) con ; Số lồng: \(2022\) lồng

Theo nguyên lý Dirichlet luôn có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho \(2022\).

Giả sử hai số đó là: \(c = \underbrace {11...11}_p;d = \underbrace {11...11}_k\left( {p > k} \right)\)

Ta có: \(c - d = \underbrace {11...11}_p - \underbrace {11...11}_k = \underbrace {11...11}_{p - k}\underbrace {00...0}_k = \underbrace {11...11}_{p - k}{.10^k} \vdots 2022\)

Vì \(\left. \begin{array}{l}\underbrace {11...11}_{p - k}{.10^k} \vdots 2022\\\left( {{{10}^k};2022} \right) = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \underbrace {11...11}_{p - k} \vdots 2022\)

Vậy tồn tại \(1\) số tự nhiên được tạo nên từ các chữ số \(1\), chia hết cho \(2022\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link