Chứng minh rằng trong mọi khối đa diện lồi tồn tại ít nhất hai mặt có cùng số

Câu hỏi số 554348:

Vận dụng

Chứng minh rằng trong mọi khối đa diện lồi tồn tại ít nhất hai mặt có cùng số cạnh.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554348

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt \(n\) thỏ vào \(m\) chuồng \(\left( {n > m} \right)\), nghĩa là số thỏ nhiều hơn số chuồng, thì ít nhất cùng có một chuồng nhốt không ít hơn hai thỏ.

+ Khối đa diện lồi là: Một khối đa diện được gọi là đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

Giải chi tiết

Ký hiệu \(M\) là số mặt có số cạnh lớn nhất của khối đa diện.

Giả sử mặt \(M\) có \(k\) cạnh. Khi đó vì có cạnh chung với \(M\), nên đa diện có ít nhất \(k + 1\) mặt.

Vì là một mặt có số cạnh nhiều nhất bằng \(k\) nên mọi mặt của đa diện có thể có số cạnh là:\(3;4;...;k\).

Đa diện có ít nhất \(k + 1\) mặt và có \(k - 2\) cạnh.

Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất hai mặt của đa diện có cùng số cạnh.

Vậy trong tập \(A\) đã cho, có ít nhất hai điểm được nối với cùng số lượng điểm khác thuộc \(A\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link