Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;2) và B(3;-2;4). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn

Câu hỏi số 554511:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;2) và B(3;-2;4). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứ đường tròn đáy của (N) có dạng 2x + by + cz + d = 0. Giá trị của 2b + 2c + d bằng

A. 10

B. -4

C. -18

D. 6

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554511

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} = 6\).

Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón (N), R là bán kính mặt cầu đường kính AB.

Gọi I là trung điểm của AB, H là tâm đường tròn đáy của hình nón (N).

Để thể tích khối nón (N) lớn nhất thì \(h \ge R\).

Ta có: \({r^2} = {R^2} - I{H^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2} = 2Rh - {h^2}\).

Thể tích khối nón là \({V_{\left( N \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left( {2Rh - {h^2}} \right)h = \dfrac{\pi }{6}\left( {4R - 2h} \right){h^2}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\left( {4R - 2h} \right){h^2} \le {\left( {\dfrac{{4R - 2h + h + h}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{64{R^3}}}{{27}}\).

Do đó \({V_{\left( N \right)}} \le \dfrac{\pi }{6}.\dfrac{{64{R^3}}}{{27}} = \dfrac{{32}}{3}\pi \).

Dấu “=” xảy ra khi \(4R - 2h = h \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3} = 4\), suy ra AH = 4 nên \(\overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}} \right) \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{3}; - \dfrac{{14}}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) đi qua H và có 1 VTPT \(\overrightarrow {AB} \) là:

\(\begin{array}{l}4\left( {x - \dfrac{{11}}{3}} \right) - 4\left( {y + \dfrac{{14}}{3}} \right) + 2\left( {z + \dfrac{2}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4y + 2z - 32 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 2y + z - 16 = 0\end{array}\)

Vậy b = -2, c = 1, d = -16 nên 2b + 2c + d = -18.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.