Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;2) và B(3;-2;4). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;2) và B(3;-2;4). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứ đường tròn đáy của (N) có dạng 2x + by + cz + d = 0. Giá trị của 2b + 2c + d bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có: \(AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} = 6\).
Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón (N), R là bán kính mặt cầu đường kính AB.
Gọi I là trung điểm của AB, H là tâm đường tròn đáy của hình nón (N).
Để thể tích khối nón (N) lớn nhất thì \(h \ge R\).
Ta có: \({r^2} = {R^2} - I{H^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2} = 2Rh - {h^2}\).
Thể tích khối nón là \({V_{\left( N \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left( {2Rh - {h^2}} \right)h = \dfrac{\pi }{6}\left( {4R - 2h} \right){h^2}\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\left( {4R - 2h} \right){h^2} \le {\left( {\dfrac{{4R - 2h + h + h}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{64{R^3}}}{{27}}\).
Do đó \({V_{\left( N \right)}} \le \dfrac{\pi }{6}.\dfrac{{64{R^3}}}{{27}} = \dfrac{{32}}{3}\pi \).
Dấu “=” xảy ra khi \(4R - 2h = h \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3} = 4\), suy ra AH = 4 nên \(\overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}} \right) \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{3}; - \dfrac{{14}}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).
Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) đi qua H và có 1 VTPT \(\overrightarrow {AB} \) là:
\(\begin{array}{l}4\left( {x - \dfrac{{11}}{3}} \right) - 4\left( {y + \dfrac{{14}}{3}} \right) + 2\left( {z + \dfrac{2}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4y + 2z - 32 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 2y + z - 16 = 0\end{array}\)
Vậy b = -2, c = 1, d = -16 nên 2b + 2c + d = -18.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
