Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 2021\).

Câu hỏi số 554945:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 2021\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }} \le \dfrac{{2021}}{3}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554945

Phương pháp giải

Chứng minh \(\dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\) và tương tự với \(\dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }};\dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }}\)

Cộng theo vế của các bất đẳng thức, ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

2) Với \(\forall a,b,c > 0\) ta có: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\,\,\,;\,\,\,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9 \Rightarrow \dfrac{1}{{a + b + c}} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c.\)

Với \(x;y;z\) là các số dương

Ta có: \(7{x^2} - 2xy + 4{y^2} = {\left( {2x + y} \right)^2} + 3{\left( {x - y} \right)^2} \ge {\left( {2x + y} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \ge 2x + y \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} \le \dfrac{1}{{2x + y}} = \dfrac{1}{{x + x + y}} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y\).

Tương tự ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) dấu bằng xảy ra khi \(y = z.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2yz + 4{x^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right)\) dấu bằng xảy ra khi \(z = x.\)

Cộng các BĐT trên ta được

\(\dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{3}{z}} \right) \le \dfrac{{2021}}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = \dfrac{3}{{2021}}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link