Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 2021\).

Câu hỏi số 554945:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 2021\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }} \le \dfrac{{2021}}{3}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:554945

Phương pháp giải

Chứng minh \(\dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\) và tương tự với \(\dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }};\dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }}\)

Cộng theo vế của các bất đẳng thức, ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

2) Với \(\forall a,b,c > 0\) ta có: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\,\,\,;\,\,\,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9 \Rightarrow \dfrac{1}{{a + b + c}} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c.\)

Với \(x;y;z\) là các số dương

Ta có: \(7{x^2} - 2xy + 4{y^2} = {\left( {2x + y} \right)^2} + 3{\left( {x - y} \right)^2} \ge {\left( {2x + y} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \ge 2x + y \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} \le \dfrac{1}{{2x + y}} = \dfrac{1}{{x + x + y}} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y\).

Tương tự ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) dấu bằng xảy ra khi \(y = z.\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2yz + 4{x^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right)\) dấu bằng xảy ra khi \(z = x.\)

Cộng các BĐT trên ta được

\(\dfrac{1}{{\sqrt {7{x^2} - 2xy + 4{y^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{y^2} - 2yz + 4{z^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {7{z^2} - 2zx + 4{x^2}} }} \le \dfrac{1}{9}\left( {\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{3}{z}} \right) \le \dfrac{{2021}}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = \dfrac{3}{{2021}}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.