Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(5\sqrt 2 \), khoảng cách từ tâm \(O\) của

Câu hỏi số 555441:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(5\sqrt 2 \), khoảng cách từ tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) đến một mặt bên là \(2\). Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{500}}{9}\pi \).

B. \(\dfrac{{2000}}{9}\pi \).

C. \(\dfrac{{500}}{3}\pi \).

D. \(\dfrac{{500}}{{27}}\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555441

Phương pháp giải

- Xác định khoảng cách từ O đến một mặt bên.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính chiều cao SO.

- Tính bán kính đáy r và chiều cao h của khối nón.

- Thể tích của khối nón có bán kính đáy \(r\) và đường cao \(h\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, \(O = AE \cap CI\).

Khi đó \(SO \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SO \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AV \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = 2\).

Tam giác ABC đều cạnh \(5\sqrt 2 \) nên \(CI = \dfrac{{5\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}\), suy ra \(OI = \dfrac{1}{3}CI = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{6}\).

Áp dụng HTL trong tam giác vuông SOI có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{100}} \Rightarrow SO = 10\).

Do đó khối nón ngoại tiếp chóp S.ABC có chiều cao h = SO = 10, bán kính đáy \(r = OC = \dfrac{2}{3}CI = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy thể tích khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{{5\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}.10 = \dfrac{{500}}{9}\pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.