Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, hình chiếu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm H của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng: \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)
b) Gọi K là trung điểm của cạnh BC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SC. Xác định đoạn vuông góc chung của của hai đường thẳng HK và SC.
Quảng cáo
a) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\,\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\\left\{ H \right\} = AB \cap SH\\AB,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
b)
Gọi O là trung điểm AC. Kẻ \(HI \bot AC,I \in AC\). Kẻ \(HN \bot SI,N \in SI\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HI\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AC \bot HN\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta được \(HN \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HN\, = d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)\) (3)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}KH//AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK//\left( {SAC} \right)\)
Hơn nữa, \(SC \subset \left( {SAC} \right)\) nên
\(d\left( {HK,SC} \right) = d\left( {HK,\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HN\)
\(\Delta SHI\) vuông tại H có: \(\dfrac{1}{{H{N^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{2{a^2}}} = \dfrac{{28}}{{3{a^2}}}\)
\( \Rightarrow HN = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d\left( {HK,SC} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\)
Kẻ \(NP//AC\,\,\left( {P \in SC} \right),PQ//HN\,\,\,\left( {\left\{ Q \right\} = HK \cap PQ} \right)\)
Khi đó, \(PQ \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow PQ \bot SC\)
Mặt khác, \(HN \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HN \bot NP\) và HK//NP, PQ//HN nên \(PQ \bot HK\)
Vậy \(PQ\) là đoạn vuông góc chung của \(HK\) và \(SC\).
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
