Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Từ \(A\) kẻ các

Câu hỏi số 555623:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với dường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn và \(\angle BDC = \angle AOC\).

b) Kẻ \(CK\) vuông góc với \(BD\) tại \(K\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(CK\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(CK\).

Xem lời giải

Câu hỏi:555623

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Nối \(BC\), gọi \(\left\{ M \right\} = BC \cap AD\).

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác: \(\dfrac{{CI}}{{CA}} = \dfrac{{MI}}{{MA}} = \dfrac{{DI}}{{DA}}\)

Áp dụng định lý Ta – lét: \(\dfrac{{MI}}{{MA}} = \dfrac{{CI}}{{AB}},\,\,\dfrac{{DI}}{{DA}} = \dfrac{{IK}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow CI = IK\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn và \(\angle BDC = \angle AOC\).

Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ABOC\) có \(\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Kẻ \(CK\) vuông góc với \(BD\) tại \(K\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(CK\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(CK\).

Nối \(BC\), gọi \(\left\{ M \right\} = BC \cap AD\).

Vì \(AB = AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow \angle ACB = \angle ABC\) (2 góc ở đáy tam giác cân).

Mà \(\angle ABC = \angle BDC\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\)).

\( \Rightarrow \angle ACB = \angle BDC\).

Ta có: \(\angle BCD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle BDC = \angle BCK\) (cùng phụ với \(\angle DCK\)).

\( \Rightarrow \angle ACB = \angle BCK\) \( \Rightarrow CB\) là tia phân giác của \(\angle ACK\).

Lại có \(\angle BCD = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CB \bot CD\) \( \Rightarrow CD\) là phân giác ngoài của \(\angle ACK\).

Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\dfrac{{CI}}{{CA}} = \dfrac{{MI}}{{MA}} = \dfrac{{DI}}{{DA}}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CK \bot BD\\AB \bot BD\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow CK//AB\) (từ vuông góc đến song song).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MI}}{{MA}} = \dfrac{{CI}}{{AB}},\,\,\dfrac{{DI}}{{DA}} = \dfrac{{IK}}{{AB}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{AB}} = \dfrac{{IK}}{{AB}} \Rightarrow CI = IK\).

Mà \(I\) nẳm giữa \(C\) và \(K\) nên \(I\) là trung điểm của \(CK\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.