Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều. Gọi \(\alpha \) là góc tạo
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều. Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(A'B\) với mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\beta \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC'} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\). Biết \({\cot ^2}\alpha - {\cot ^2}\beta = \dfrac{m}{n}\) \(\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = m + 2n\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Giả sử tất cả các cạnh của hình lăng trụ bằng 1.
Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right)\) và \(d\).
- Tính \(\cot \alpha \).
- Tính \(\cot \beta \).
Từ đó tính được \({\cot ^2}\alpha - {\cot ^2}\beta \) rồi tính T.
Không mất tính tổng quát giả sử tất cả các cạnh của lăng trụ bằng 1.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,A'C'\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\A'A \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
Do đó: \(\left( {A'B,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {A'B,A'H} \right) = \angle BA'H\).
\( \Rightarrow {\cot ^2}\alpha = {\cot ^2}\angle BA'H = {\left( {\dfrac{{A'H}}{{BH}}} \right)^2}\).
Vì \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,A'C'\) nên \(HK \bot A'C'\).
Hơn nữa \(BH \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BH \bot A'C'\).
Khi đó ta được \(A'C' \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow \left( {\left( {A'BC'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {BK,HK} \right) = \angle BKH\).
\( \Rightarrow {\cot ^2}\beta = {\cot ^2}\angle BKH = {\left( {\dfrac{{HK}}{{HB}}} \right)^2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}HA' = \sqrt {A'{A^2} + H{A^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\\HB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,HK = 1\end{array}\)
Vậy \({\cot ^2}\alpha - {\cot ^2}\beta = {\left( {\dfrac{{HA'}}{{HB}}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{HK}}{{HB}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \dfrac{1}{3}\).
Vậy \(T = m + 2n = 1 + 2.3 = 7\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
