Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\,\,B\left( {2; - 3; - 5} \right)\). Gọi

Câu hỏi số 556057:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\,\,B\left( {2; - 3; - 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25,\) \(\left( {{S_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {x^2} - 2x - 2y - 14 = 0\). \(M,\,\,N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) có dạng \(\sqrt {a - b\sqrt c } \) (\(a,\,\,b,\,\,c \in {\bf{N}},\,\,c\) là số nguyên tố). Tính \(a + b + c\).

A. 80

B. 93

C. 89

D. 90

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556057

Phương pháp giải

- Gọi hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( P \right)\) là \(H\left( {2; - 3;0} \right)\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\) là \(O\).

- Lấy \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \). Khi đó: \(AMNA'\) là hình bình hành.

Từ đó \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B\).

- Gọi \(\left( \alpha \right):\,\,z - 3 = 0\) là mặt phẳng qua \(A\) và song song với \(\left( {Oxy} \right)\).

- Gọi \(H'\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Từ đó dựa vào bất đẳng thức tam giác tìm được giá trị nhỏ nhất của \(A'B\).

Giải chi tiết

Các điểm trên đường tròn giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) trừ (2) ta được \(6z = 0\) hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,z = 0\)\( \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\).

Dễ thấy \(A,\,\,B\) nằm khác phía so với \(\left( P \right)\).

Gọi hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( P \right)\) là \(H\left( {2; - 3;0} \right)\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\) là \(O\).

Lấy \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \). Khi đó: \(AMNA'\) là hình bình hành.

Từ đó suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = A'N\\AA'//\left( {Oxy} \right)\end{array} \right.\).

Khi đó: \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B\).

Gọi \(\left( \alpha \right):\,\,z - 3 = 0\) là mặt phẳng qua \(A\) và song song với \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(A'\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,z - 3 = 0\) có tâm \(A\left( {0;0;3} \right)\) và bán kính \(R = 1\).

Gọi \(H'\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Ta có: \(BH' = BH + d\left( {\left( {Oxy} \right),\left( \alpha \right)} \right) = 5 + 3 = 8\).

Lại có:

\(\begin{array}{l}A'B = \sqrt {BH{'^2} + A'H{'^2}} \ge \sqrt {64 + {{\left( {AH' - AA'} \right)}^2}} \\AH' = \sqrt {A{B^2} - BH{'^2}} = \sqrt {77 - 64} = \sqrt {13} \\ \Rightarrow A'B \ge \sqrt {64 + {{\left( {\sqrt {13} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {78 - 2\sqrt {13} } \end{array}\)

Vậy \(AM + BN \ge \sqrt {78 - 2\sqrt {13} } \).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {OH} \) cùng phương.

Do \(MN = 1\) nên chọn \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{{\overrightarrow {OH} }}{{OH}} = \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {13} }}; - \dfrac{3}{{\sqrt {13} }};0} \right)\).

Khi đó \(A'\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {13} }}; - \dfrac{3}{{\sqrt {13} }};3} \right)\).

Vậy \(a + b + c = 78 + 2 + 13 = 93\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.