Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng 2. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng 2. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(AA',\,\,BB'\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AA'\) và \(B'N = \dfrac{2}{3}BB'\). Đường thẳng \(CM\) cắt đường thẳng \(A'C'\) tại \(P\) và đường thẳng \(CN\) cắt đường thẳng \(B'C'\) tại \(Q\). Biết thể tích khối đa diện lồi \(A'MPB'NQ\) bằng \(\dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b \in {\bf{N}}\); \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a + 2b\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{CC'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}}\).
- \({V_{CC'B'NMA'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABNM}}\).
- Tính tỉ số thể tích của \(\dfrac{{{V_{CC'PQ}}}}{{{V_{CA'B'C'}}}}\) từ đó tính được \({V_{CC'PQ}}\).
Ta có \({V_{C.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}\).
\( \Rightarrow {V_{C.ABB'A'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.A'B'C'}} = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\)
Ta thấy \(ABNM\) là hình thang nên
\({S_{ABNM}} = \dfrac{{\left( {AM + BN} \right)d\left( {BN,AM} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{AA'}}{2} + \dfrac{{BB'}}{3}} \right)d\left( {BB',AA'} \right)}}{2} = \dfrac{5}{{12}}AA'.d\left( {BB',AA'} \right)\). \(\begin{array}{l}{S_{ABB'A'}} = AA'.d\left( {AA',BB'} \right) \Rightarrow {S_{ABNM}} = \dfrac{5}{{12}}{S_{ABB'A'}}\\ \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = AA'.d\left( {AA',BB'} \right).{S_{ABNM}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).\dfrac{5}{{12}}.{S_{ABB'A'}} = \dfrac{5}{{12}}{V_{CABB'A'}} = \dfrac{5}{{12}}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{9}\end{array}\).
\( \Rightarrow {V_{CC'B'NMA'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABNM}} = 2 - \dfrac{5}{9} = \dfrac{{13}}{9}\).
Ta có: \(A'M//CC' \Rightarrow \dfrac{{PA'}}{{PC'}} = \dfrac{{A'M}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow PA' = \dfrac{1}{2}PC' = A'C' \Rightarrow PC' = 2A'C'\)
\(B'N//CC' \Rightarrow \dfrac{{B'N}}{{CC'}} = \dfrac{{QB'}}{{QC'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow QC' = 3B'C'\).
Lại có: \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}C'A'.C'B'\sin \angle A'C'B'\).
\( \Rightarrow {S_{C'PQ}} = \dfrac{1}{2}.C'P.C'Q.\sin \angle PC'Q = \dfrac{1}{2}.2.A'C'.3.B'C'\sin \angle A'C'B' = 6{S_{A'B'C'}}\).
Từ đó: \({V_{C.C'PQ}} = \dfrac{1}{3}D\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{C'PQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).6{S_{C'A'B'}} = 6{V_{CA'B'C'}} = 6.\dfrac{2}{3} = 4\).
Vậy \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{CC'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}} = 4 - \dfrac{{13}}{9} = \dfrac{{23}}{9}\).
Vậy \(a + 2b = 23 + 9.2 = 41\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
