Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng 2. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng 2. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(AA',\,\,BB'\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AA'\) và \(B'N = \dfrac{2}{3}BB'\). Đường thẳng \(CM\) cắt đường thẳng \(A'C'\) tại \(P\) và đường thẳng \(CN\) cắt đường thẳng \(B'C'\) tại \(Q\). Biết thể tích khối đa diện lồi \(A'MPB'NQ\) bằng \(\dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b \in {\bf{N}}\); \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a + 2b\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{CC'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}}\).
- \({V_{CC'B'NMA'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABNM}}\).
- Tính tỉ số thể tích của \(\dfrac{{{V_{CC'PQ}}}}{{{V_{CA'B'C'}}}}\) từ đó tính được \({V_{CC'PQ}}\).
Ta có \({V_{C.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}\).
\( \Rightarrow {V_{C.ABB'A'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.A'B'C'}} = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\)
Ta thấy \(ABNM\) là hình thang nên
\({S_{ABNM}} = \dfrac{{\left( {AM + BN} \right)d\left( {BN,AM} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{AA'}}{2} + \dfrac{{BB'}}{3}} \right)d\left( {BB',AA'} \right)}}{2} = \dfrac{5}{{12}}AA'.d\left( {BB',AA'} \right)\). \(\begin{array}{l}{S_{ABB'A'}} = AA'.d\left( {AA',BB'} \right) \Rightarrow {S_{ABNM}} = \dfrac{5}{{12}}{S_{ABB'A'}}\\ \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = AA'.d\left( {AA',BB'} \right).{S_{ABNM}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).\dfrac{5}{{12}}.{S_{ABB'A'}} = \dfrac{5}{{12}}{V_{CABB'A'}} = \dfrac{5}{{12}}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{9}\end{array}\).
\( \Rightarrow {V_{CC'B'NMA'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABNM}} = 2 - \dfrac{5}{9} = \dfrac{{13}}{9}\).
Ta có: \(A'M//CC' \Rightarrow \dfrac{{PA'}}{{PC'}} = \dfrac{{A'M}}{{CC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow PA' = \dfrac{1}{2}PC' = A'C' \Rightarrow PC' = 2A'C'\)
\(B'N//CC' \Rightarrow \dfrac{{B'N}}{{CC'}} = \dfrac{{QB'}}{{QC'}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow QC' = 3B'C'\).
Lại có: \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}C'A'.C'B'\sin \angle A'C'B'\).
\( \Rightarrow {S_{C'PQ}} = \dfrac{1}{2}.C'P.C'Q.\sin \angle PC'Q = \dfrac{1}{2}.2.A'C'.3.B'C'\sin \angle A'C'B' = 6{S_{A'B'C'}}\).
Từ đó: \({V_{C.C'PQ}} = \dfrac{1}{3}D\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{C'PQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).6{S_{C'A'B'}} = 6{V_{CA'B'C'}} = 6.\dfrac{2}{3} = 4\).
Vậy \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{CC'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}} = 4 - \dfrac{{13}}{9} = \dfrac{{23}}{9}\).
Vậy \(a + 2b = 23 + 9.2 = 41\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
