Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}}

Câu hỏi số 556089:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{1}{9}\left( {64c - a - b} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556089

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Co – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{4\left( {b + c} \right)}}{9} \ge \dfrac{{4a}}{3}\left( 1 \right)\\\dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{4\left( {c + a} \right)}}{9} \ge \dfrac{{4b}}{3}\left( 2 \right)\\\dfrac{{16{c^2}}}{{a + b}} + \left( {a + b} \right) \ge 8c\left( 3 \right)\end{array}\)

Cộng theo vế từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{13}}{9}\left( {a + b} \right) + \dfrac{8}{9}c \ge \dfrac{4}{3}\left( {a + b} \right) + 8c\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{1}{9}\left( {64c - a - b} \right)\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link