Cho \(a,b,c\) là số thực dương thoả mãn \(ab \ge 12,bc \ge 8\). Chứng minh rằng: \(\left( {a + b + c}

Câu hỏi số 556088:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là số thực dương thoả mãn \(ab \ge 12,bc \ge 8\). Chứng minh rằng:

\(\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ac}}} \right) + \dfrac{8}{{abc}} \ge \dfrac{{121}}{{12}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556088

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

+ Giải dấu “\( = \)” \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 12\\bc = 8\end{array} \right.\). Khi đó điểm rơi là \(a = 3;b = 4;c = 2\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các nhóm sau: \(\left( {\dfrac{a}{{18}};\dfrac{b}{{24}};\dfrac{2}{{ab}}} \right),\left( {\dfrac{a}{9};\dfrac{c}{6};\dfrac{2}{{ca}}} \right),\left( {\dfrac{b}{{16}};\dfrac{c}{8};\dfrac{2}{{bc}}} \right),\left( {\dfrac{a}{9};\dfrac{c}{6};\dfrac{b}{{12}};\dfrac{8}{{abc}}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(a = \dfrac{a}{{18}} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{{13a}}{{18}}\)

\(b = \dfrac{b}{{24}} + \dfrac{b}{{16}} + \dfrac{b}{{12}} + \dfrac{{13b}}{{24}} + \dfrac{{13b}}{{48}}\)

\(c = \dfrac{c}{6} + \dfrac{c}{8} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{{13c}}{{24}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

+ \(\dfrac{a}{{18}} + \dfrac{b}{{24}} + \dfrac{2}{{ab}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{{18}}.\dfrac{b}{{24}}.\dfrac{2}{{ab}}}} = \dfrac{1}{2}\)

+ \(\dfrac{a}{9} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{2}{{ca}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{9}.\dfrac{c}{6}.\dfrac{2}{{ca}}}} = 1\)

+ \(\dfrac{b}{{16}} + \dfrac{c}{8} + \dfrac{2}{{bc}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{16}}.\dfrac{c}{8}.\dfrac{2}{{bc}}}} = \dfrac{3}{4}\)

+\(\dfrac{a}{9} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{b}{{12}} + \dfrac{8}{{abc}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{a}{9}.\dfrac{c}{6}.\dfrac{b}{{12}}.\dfrac{8}{{abc}}}} = \dfrac{4}{3}\)

+\(\dfrac{{13a}}{{18}} + \dfrac{{13b}}{{24}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13a}}{{18}}.\dfrac{{13b}}{{24}}} = \dfrac{{13}}{3}\)

+ \(\dfrac{{13b}}{{48}} + \dfrac{{13c}}{{24}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13b}}{{48}}.\dfrac{{13c}}{{24}}} = \dfrac{{13}}{6}\)

Cộng theo từng vế, ta có: \(\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) + \dfrac{8}{{abc}} \ge \dfrac{{121}}{{12}}\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link