Cho \(3\) số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{b + c}}{{{a^2}}} + \dfrac{{c + a}}{{{b^2}}} +

Câu hỏi số 556090:

Vận dụng cao

Cho \(3\) số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{b + c}}{{{a^2}}} + \dfrac{{c + a}}{{{b^2}}} + \dfrac{{a + b}}{{{c^2}}} \ge \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{2}{c}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556090

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\dfrac{{b + c}}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{b + c}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{b + c}}{{{a^2}}}.\dfrac{4}{{b + c}}} = \dfrac{4}{a}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{c + a}}{{{b^2}}} + \dfrac{4}{{c + a}} \ge \dfrac{4}{b}\left( 2 \right)\\\dfrac{{a + b}}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{a + b}} \ge \dfrac{4}{c}\left( 3 \right)\end{array}\)

Cộng theo vế \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) ta có: \(\dfrac{{b + c}}{{{a^2}}} + \dfrac{{c + a}}{{{b^2}}} + \dfrac{{a + b}}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{b + c}} + \dfrac{4}{{a + c}} \ge \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{4}{c}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4}{{2\sqrt {ab} }} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right);\\\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right);\\\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{a + c}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Cộng theo vế \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right);\left( 4 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{b + c}}{{{a^2}}} + \dfrac{{c + a}}{{{b^2}}} + \dfrac{{a + b}}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{b + c}} + \dfrac{4}{{c + a}} + \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{2}{c} \ge \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{4}{c} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{b + c}} + \dfrac{4}{{c + a}}\\ \Rightarrow \dfrac{{b + c}}{{{a^2}}} + \dfrac{{c + a}}{{{b^2}}} + \dfrac{{a + b}}{{{c^2}}} \ge \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{2}{c}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link