Cho \(3\) số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} +

Câu hỏi số 556091:

Vận dụng cao

Cho \(3\) số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} \ge \dfrac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556091

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{9} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}}.\dfrac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{9}} = \dfrac{2}{3}{a^2}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{b\left( {b + 2c} \right)}}{9} \ge \dfrac{2}{3}{b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{{c^3}}}{{c + 2b}} + \dfrac{{c\left( {c + 2b} \right)}}{9} \ge \dfrac{2}{3}{c^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Công theo vế \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} + \dfrac{1}{9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \dfrac{2}{9}\left( {ab + bc + ac} \right) \ge \dfrac{2}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} + \dfrac{2}{9}\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \dfrac{5}{9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Mặt khác ta có: \({a^{m + n}} + {b^{m + n}} + {c^{m + n}} \ge {a^m}{b^n} + {b^m}{c^n} + {c^m}{a^n}\)

Chọn \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\end{array} \right.\) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \Rightarrow \dfrac{2}{9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \dfrac{2}{9}\left( {ab + bc + ca} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Cộng theo vế \(\left( * \right);\left( {**} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} + \dfrac{2}{9}\left( {ab + bc + ca} \right) + \dfrac{2}{9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \dfrac{5}{9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \dfrac{2}{9}\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{a + 2b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{b + 2c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{c + 2a}} \ge \dfrac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link