Cho số thực \(a,b\) thoả mãn \(36{a^2} + 16{b^2} = 9\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 556453:

Vận dụng

Cho số thực \(a,b\) thoả mãn \(36{a^2} + 16{b^2} = 9\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(B = - 2a + b + 5\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556453

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {36{a^2} + 16{b^2}} \right)\left[ {{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}^2}} \right] \ge {\left[ {6a\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + 4b.\dfrac{1}{4}} \right]^2} = {\left( { - 2a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( { - 2a + b} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow - \dfrac{5}{4} \le - 2a + b \le \dfrac{5}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{15}}{4} \le - 2a + b + 5 \le \dfrac{{25}}{4}\end{array}\)

Ta có:

GTNN của A là \( - \dfrac{{25}}{4}\) khi\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36{a^2} + 9{b^2} = 9\\\dfrac{{6a}}{{ - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{{4b}}{{\dfrac{1}{4}}}\\ - 2a + b = - \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\\b = - \dfrac{9}{{20}}\end{array} \right.\)

GTLN của A là \(\dfrac{{25}}{4}\) khi\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36{a^2} + 9{b^2} = 9\\\dfrac{{6a}}{{ - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{{4b}}{{\dfrac{1}{4}}}\\ - 2a + b = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{2}{5}\\b = \dfrac{9}{{20}}\end{array} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link