Cho số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \({a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {\left( {\dfrac{{a + 3b}}{4}}

Câu hỏi số 556454:

Vận dụng

Cho số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \({a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {\left( {\dfrac{{a + 3b}}{4}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{{b + 3c}}{4}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{{c + 3a}}{4}} \right)^4}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556454

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\({\left( {\dfrac{{a + 3b}}{4}} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {\dfrac{a}{4} + \dfrac{b}{4} + \dfrac{b}{4} + \dfrac{b}{4}} \right)}^2}} \right]^2} \le {\left[ {\left( {\dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{16}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {b^2} + {b^2}} \right)} \right]^2}\)

\(\begin{array}{l} \le \dfrac{1}{{16}}{\left( {{a^2} + {b^2} + {b^2} + {b^2}} \right)^2}\\ \le \dfrac{1}{{16}}\left( {1 + 1 + 1 + 1} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {b^4} + {b^4}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{{a + 3b}}{4}} \right)^4} \le \dfrac{{{a^4} + 3{b^4}}}{4}{\rm{ }} \left( 1 \right)\)

Tương tự:

\({\left( {\dfrac{{b + 3c}}{4}} \right)^4} \le \dfrac{{{b^4} + 3{c^4}}}{4}{\rm{ }} \left( 2 \right)\)

\({\left( {\dfrac{{c + 3a}}{4}} \right)^4} \le \dfrac{{{c^4} + 3{a^4}}}{4}{\rm{ }} \left( 3 \right)\)

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:

\({\left( {\dfrac{{a + 3b}}{4}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{{b + 3c}}{4}} \right)^4} + {\left( {\dfrac{{c + 3a}}{4}} \right)^4} \le {a^4} + {b^4} + {c^4}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link