Cho \(x,y,z > 0\)và \(x + y + z \le 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt

Câu hỏi số 556455:

Vận dụng

Cho \(x,y,z > 0\)và \(x + y + z \le 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \ge \sqrt {82} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556455

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki cho hai bộ số: \(\left( {1;9} \right),\left( {x;\dfrac{1}{x}} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(S = \sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\(x + \dfrac{9}{x} \le \sqrt {1 + 81} .\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} = \sqrt {82} .\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta có: \(y + \dfrac{9}{y} \le \sqrt {82} .\sqrt {{y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} \,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) và \(z + \dfrac{9}{z} \le \sqrt {82} .\sqrt {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\)

Cộng theo vế \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {82} \left( {\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} } \right) \ge x + y + z + 9\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {82} .S \ge 81\left( {x + y + z} \right) + 9\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 80\left( {x + y + z} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \ge 2.9.3\sqrt {\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} - 80\\ \ge 162 - 80 = 82\end{array}\)

\( \Rightarrow S \ge \sqrt {82} \)

Vậy \(\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \ge \sqrt {82} \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link