Cho \(a,b > 0\) và thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 9\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{ab}}{{a + b + 3}} \le

Câu hỏi số 556456:

Vận dụng

Cho \(a,b > 0\) và thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 9\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{ab}}{{a + b + 3}} \le \dfrac{{3\sqrt 2 - 3}}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556456

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} = 9\\ \Leftrightarrow 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 9\\ \Leftrightarrow 2ab = \left( {a + b + 3} \right)\left( {a + b - 3} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2ab}}{{a + b + 3}} = a + b - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ab}}{{a + b + 3}} = \dfrac{{a + b}}{2} - \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Theo bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có: \(a + b \le \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 \)

Do đó, \(\dfrac{{ab}}{{a + b + 3}} \le \dfrac{{3\sqrt 2 - 3}}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a,b > 0\\{a^2} + {b^2} = 9\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link