Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{1 + b - a}} +

Câu hỏi số 556457:

Vận dụng

Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{1 + b - a}} + \dfrac{b}{{1 + c - b}} + \dfrac{c}{{1 + a - c}} \ge 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556457

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Đặt \(A = \dfrac{a}{{1 + b - a}} + \dfrac{b}{{1 + c - d}} + \dfrac{c}{{1 + a - c}} = \dfrac{a}{{2b + c}} + \dfrac{b}{{2c + a}} + \dfrac{c}{{2a + b}}\)

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {2b + c} }}\sqrt {a\left( {2b + c} \right)} + \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {2c + a} }}\sqrt {b\left( {2c + a} \right)} + \dfrac{{\sqrt c }}{{\sqrt {2a + b} }}\sqrt {c\left( {2a + b} \right)} } \right]^2} = 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {2b + c} }}\sqrt {a\left( {2b + c} \right)} + \dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {2c + a} }}\sqrt {b\left( {2c + a} \right)} + \dfrac{{\sqrt c }}{{\sqrt {2a + b} }}\sqrt {c\left( {2a + b} \right)} } \right]^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \left( {\dfrac{a}{{2b + c}} + \dfrac{b}{{2c + a}} + \dfrac{c}{{2a + b}}} \right)\left[ {a\left( {2b + c} \right) + b\left( {2c + a} \right) + c\left( {2a + b} \right)} \right]\end{array}\)

\( \Leftrightarrow A \ge \dfrac{{3{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{3\left( {ab + bc + ac} \right)}}\)

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\( \Rightarrow A \ge \dfrac{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{3\left( {ab + bc + ca} \right)}} = 1\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}2b + c = 2c + a = 2a + b\\a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link