Giả sử các số thực \(x,y,z,t\) thoả mãn điều kiện: \(a\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + b\left( {{z^2}

Câu hỏi số 556458:

Vận dụng cao

Giả sử các số thực \(x,y,z,t\) thoả mãn điều kiện: \(a\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + b\left( {{z^2} + {t^2}} \right) = 1\) với \(a;b\) là hai số dương cho trước. Chứng minh rằng \(\left( {x + z} \right)\left( {y + t} \right) \le \dfrac{{a + b}}{{ab}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556458

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki: Cho hai bộ số thực \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\), ta có:

\(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .... + {a_n}^2} \right)\left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + .... + {b_n}^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

Giải chi tiết

Do \(a;b > 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + b\left( {{z^2} + {t^2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2} + {t^2}}}{a} = \dfrac{1}{{ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{t^2}}}{a} = \dfrac{1}{{ab}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cop – xki, ta có:

\({\left( {x + z} \right)^2} = {\left( {\dfrac{x}{{\sqrt b }}.\sqrt b + \dfrac{z}{{\sqrt a }}.\sqrt a } \right)^2} \le \left( {b + a} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{a}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự: \({\left( {y + t} \right)^2} \le \left( {b + a} \right)\left( {\dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{t^2}}}{a}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được:

\({\left( {x + z} \right)^2} + {\left( {y + t} \right)^2} \le \left( {b + a} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{b} + \dfrac{{{z^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} + \dfrac{{{t^2}}}{a}} \right) = \dfrac{{a + b}}{{ab}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Mặt khác \({\left( {x + z} \right)^2} + {\left( {y + t} \right)^2} \ge 2\left( {x + z} \right)\left( {y + t} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \left( {x + z} \right)\left( {y + t} \right) \le \dfrac{{a + b}}{{ab}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{b} = \dfrac{z}{a}\\\dfrac{y}{b} = \dfrac{t}{a}\\x + z = y + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = t = \dfrac{{ax}}{b}\end{array} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link