Cho: \(x,y > 0\) .Chứng minh:\(\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{x^7} + {y^7}} \right)

Câu hỏi số 557050:

Vận dụng

Cho: \(x,y > 0\) .Chứng minh:\(\left( {x + y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{x^7} + {y^7}} \right) \le 4\left( {{x^{11}} + {y^{11}}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557050

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Giả sử 0 < x ≤ y

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} \le {y^3}\\{x^4} \le {y^4}\\{x^7} \le {y^7}\end{array} \right.\)

-Theo bất đẳng thức Tre – bư – sé, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{(x + y)}}{2}.\dfrac{{({x^3} + {y^3})}}{2} \le \dfrac{{x.{x^3} + y.{y^3}}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(x + y)({x^3} + {y^3}) \le {x^4} + {y^4}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{(*)}\end{array}\\\dfrac{{({x^4} + {y^4})}}{2}.\dfrac{{({x^7} + {y^7})}}{2} \le \dfrac{{{x^4}.{x^7} + {y^4}.{y^7}}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}({x^4} + {y^4})({x^7} + {y^7}) \le {x^{11}} + {y^{11}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(**)}\end{array}\end{array}\)

Nhân các vế tương ứng , ta được:

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\dfrac{1}{4}(x + y)({x^3} + {y^3})({x^7} + {y^7}) \le {x^{11}} + {y^{11}}\\ \Leftrightarrow (x + y)({x^3} + {y^3})({x^7} + {y^7}) \le 4({x^{11}} + {y^{11}}).\end{array}\)

Vậy \((x + y)({x^3} + {y^3})({x^7} + {y^7}) \le 4({x^{11}} + {y^{11}}).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link