Cho \(a,b,c\) là 3 cạnh của tam giác và \(a + b + c = 2p\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{{ab}}{{p -

Câu hỏi số 557051:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là 3 cạnh của tam giác và \(a + b + c = 2p\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{{ab}}{{p - c}} + \dfrac{{bc}}{{p - a}} + \dfrac{{ca}}{{p - b}} \ge 4p.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557051

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + b - c\\y = b + c - a\\z = c + a - b\end{array} \right.\) Do \(a,b,c > 0\) nên \(x,y,z > 0\)

Giả thiết :\(a + b + c = 2p \Rightarrow x + y + z = a + b + c = 2p\)

Do vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}(x + y)(y + z) = 4ab\\(y + z)(y + x) = 4ab\\(x + z)(x + y) = 4ab\end{array} \right.\) (*)

Từ đó ta có: \(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\dfrac{{ab}}{{p - c}} + \dfrac{{bc}}{{p - a}} + \dfrac{{ca}}{{p - b}} \ge 4p\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4ab}}{{2(p - c)}} + \dfrac{{4bc}}{{2(p - a)}} + \dfrac{{4ca}}{{2(p - b)}} \ge 8p.\)

Thay kết quả (*) vào ta được:

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\dfrac{{(x + y)(x + z)}}{x} + \dfrac{{(y + z)(y + x)}}{x} + \dfrac{{(x + z)(z + y)}}{x} \ge 4(x + y + z)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x(y + z) + {y^2}}}{x} + \dfrac{{{y^2} + y(x + z) + xz}}{y} + \dfrac{{{z^2} + z(x + y) + xy}}{z} \ge 4(x + y + z)\\ \Leftrightarrow x + y + z + \dfrac{{yz}}{x} + y + z + x + \dfrac{{xz}}{y} + z + x + y + \dfrac{{xy}}{z} \ge 4(x + y + z)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{yz}}{x} + \dfrac{{xz}}{y} + \dfrac{{zy}}{x} \ge (x + y + z)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(**)}\end{array}\end{array}\)

Giả sử: \(0 < x \le y \le z \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{z} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{x}\) hay \(xy \le xz \le yz\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư - sép, ta có:

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\dfrac{{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}}}{3}.\dfrac{{(xy + xz + zy)}}{3} \le \dfrac{{\dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{xz}}{y} + \dfrac{{yz}}{x}}}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{xy}}{z} + x + y + x + \dfrac{{xz}}{y} + z + y + z + \dfrac{{yz}}{x}} \right) \le \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{zx}}{y} + \dfrac{{yz}}{x}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{xz}}{y} + \dfrac{{yz}}{x}} \right) + \dfrac{2}{3}(x + y + z) \le \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{zx}}{y} + \dfrac{{yz}}{x}\\ \Leftrightarrow x + y + z \le \dfrac{{xy}}{z} + \dfrac{{zx}}{y} + \dfrac{{yz}}{x}.\end{array}\)

Vậy \(\left( 1 \right)\) đúng. Hay: \(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\dfrac{{ab}}{{p - c}} + \dfrac{{bc}}{{p - a}} + \dfrac{{ca}}{{p - b}} \ge 4p.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link