Cho \(\Delta ABC\) , diện tích \(S\), có 3 đỉnh \(A,B,C\) tương ứng 3 cạnh \(a,b,c\) và 3 đường cao

Câu hỏi số 557052:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) , diện tích \(S\), có 3 đỉnh \(A,B,C\) tương ứng 3 cạnh \(a,b,c\) và 3 đường cao \({h_a};{h_b};{h_c}\). Chứng minh: \(\dfrac{1}{{{h_a} + {h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_b} + {h_c}}} + \dfrac{1}{{{h_c} + {h_a}}} \le \dfrac{{a + b + c}}{{4S}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557052

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Giả sử: \(a \le b \le c\), Do: \({h_a} = \dfrac{{2S}}{a}\begin{array}{*{20}{c}},&{{h_b} = \dfrac{{2S}}{b}\begin{array}{*{20}{c}},&{{h_c} = \dfrac{{2S}}{c}}\end{array}}\end{array}\)

Nên: \(\dfrac{{2s}}{a} \ge \dfrac{{2S}}{b} \ge \dfrac{{2S}}{c} \Leftrightarrow {h_a} \ge {h_b} \ge {h_c}\)

Ta có: \(\left( {a + b} \right)\left( {{h_a} + {h_b}} \right) \ge 8S \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_a} + {h_b}}} \le \dfrac{{a + b}}{{8S}}\)

\(\left( {b + c} \right)\left( {{h_b} + {h_c}} \right) \ge 8S \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_b} + {h_c}}} \le \dfrac{{b + c}}{{8S}}\)

\(\left( {c + a} \right)\left( {{h_c} + {h_a}} \right) \ge 8S \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_c} + {h_a}}} \le \dfrac{{c + a}}{{8S}}\)

Từ đó suy ra:

\(\dfrac{1}{{{h_a} + {h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_b} + {h_c}}} + \dfrac{1}{{{h_c} + {h_a}}} \le \dfrac{{a + b + b + c + c + a}}{{8S}} = \dfrac{{a + b + c}}{{4S}}\)

Vậy: \(\dfrac{1}{{{h_a} + {h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_b} + {h_c}}} + \dfrac{1}{{{h_c} + {h_a}}} \le \dfrac{{a + b + c}}{{4S}}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link