Cho \(a,b,c > 0\) thoả mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{\sqrt {1 - a} }} +

Câu hỏi số 557053:

Vận dụng

Cho \(a,b,c > 0\) thoả mãn \(a + b + c = 1\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 - c} }} \ge \dfrac{{\sqrt a }}{2} + \dfrac{{\sqrt b }}{2} + \dfrac{{\sqrt c }}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557053

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Giả sử \(a \ge b \ge c \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {1 - a} }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {1 - b} }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {1 - c} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 - c} }} \ge \dfrac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - c} }}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - c} }}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

+ \({\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - c} }}} \right)^3} \ge \dfrac{{27}}{{\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} }}\)

+ \(\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \dfrac{{{{\left[ {\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right) + \left( {1 - c} \right)} \right]}^3}}}{{27}} = \dfrac{8}{{27}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{27}}{{\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} }} \ge \dfrac{{27}}{{\dfrac{8}{{27}}}} = 8 \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - c} }}} \right)^3} \ge 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 - c} }} \ge 2\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 - c} }} \ge \dfrac{2}{3}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a < a \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{2} < \dfrac{a}{2}\\\sqrt b < b \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt b }}{2} < \dfrac{b}{2}\\\sqrt c < c \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt c }}{2} < \dfrac{c}{2}\end{array} \right.\)

Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(\dfrac{{\sqrt a }}{2} + \dfrac{{\sqrt b }}{2} + \dfrac{{\sqrt c }}{2} < \dfrac{{a + b + c}}{2} < \dfrac{1}{2}\)

Mặt khác ta có: \(\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 - c} }} \ge \dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2} > \dfrac{{\sqrt a }}{2} + \dfrac{{\sqrt b }}{2} + \dfrac{{\sqrt c }}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {1 - a} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 - b} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 - c} }} \ge \dfrac{{\sqrt a }}{2} + \dfrac{{\sqrt b }}{2} + \dfrac{{\sqrt c }}{2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link