Cho \(x,y,z > 0\) và \(x + y + z = 1\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} +

Câu hỏi số 557054:

Vận dụng

Cho \(x,y,z > 0\) và \(x + y + z = 1\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \le \dfrac{{27}}{{10}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557054

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{{10}} - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} = \dfrac{{9{x^2} - 1}}{{10\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{10\left( {1 + {x^2}} \right)}} \ge 0\\\dfrac{9}{{10}} - \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} = \dfrac{{\left( {3y + 1} \right)\left( {3y - 1} \right)}}{{10\left( {1 + {y^2}} \right)}} \ge 0\\\dfrac{9}{{10}} - \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} = \dfrac{{\left( {3z + 1} \right)\left( {3z - 1} \right)}}{{10\left( {1 + {z^2}} \right)}} \ge 0\end{array} \right.\left( {x,y,z > 0} \right)\)

Giả sử \(x \ge y \ge z \Leftrightarrow 3x \ge 3y \ge 3z \Leftrightarrow 3x - 1 \ge 3y - 1 \ge 3z - 1\)

Xét hiệu:

\(\dfrac{{3x + 1}}{{1 + {x^2}}} - \dfrac{{3y + 1}}{{1 + {y^2}}} = \dfrac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) - \left( {3y + 1} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {3 - 3xy - x - y} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {2x + 2y + 3x - 3xy} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}\)

Vì \(2x + 2y + 3x - 3xy > x + x + y - 3xy \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}y}} - 3xy = 3\sqrt[3]{{{x^2}y}}\left( {1 - \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)\left( {xy \le 1} \right)\) (Bất đẳng thức Co - si)

\( \Rightarrow x + x + y - 3xy \ge 0\). Mà \(x - y > 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {2x + 2y + 3x - 3xy} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} \ge 0\)\( \Rightarrow \dfrac{{3x + 1}}{{1 + {x^2}}} \ge \dfrac{{3y + 1}}{{1 + {y^2}}}\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\dfrac{{3y + 1}}{{1 + {y^2}}} \ge \dfrac{{3z + 1}}{{1 + {z^2}}}\)

\( \Rightarrow \) \(\dfrac{{3x + 1}}{{1 + {x^2}}} \ge \dfrac{{3y + 1}}{{1 + {y^2}}} \ge \dfrac{{3z + 1}}{{1 + {z^2}}}\)

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 1 \ge 3y - 1 \ge 3z - 1\\\dfrac{{3x + 1}}{{1 + {x^2}}} \ge \dfrac{{3y + 1}}{{1 + {y^2}}} \ge \dfrac{{3z + 1}}{{1 + {z^2}}}\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{10\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{{\left( {3y - 1} \right)\left( {3y + 1} \right)}}{{10\left( {1 + {y^2}} \right)}} + \dfrac{{\left( {3z - 1} \right)\left( {3z + 1} \right)}}{{10\left( {1 + {z^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 1} \right) + \left( {3y - 1} \right) + \left( {3z - 1} \right)} \right]\left( {\dfrac{{3x + 1}}{{10\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{{3y + 1}}{{10\left( {1 + {y^2}} \right)}} + \dfrac{{3z + 1}}{{10\left( {1 + {z^2}} \right)}}} \right)\end{array}\)

Mặt khác ta có: \(\left( {3x - 1} \right) + \left( {3y - 1} \right) + \left( {3z - 1} \right) = 3\left( {x + y + x - 1} \right) = 0\left( {x + y + z = 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{10\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{{\left( {3y - 1} \right)\left( {3y + 1} \right)}}{{10\left( {1 + {y^2}} \right)}} + \dfrac{{\left( {3z - 1} \right)\left( {3z + 1} \right)}}{{10\left( {1 + {z^2}} \right)}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{{10}} - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{9}{{10}} - \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{9}{{10}} - \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \le \dfrac{{27}}{{10}}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link