Cho \(a,b,c,d > 0\) sao cho \(a = b = c = d = e\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 +

Câu hỏi số 557055:

Vận dụng

Cho \(a,b,c,d > 0\) sao cho \(a = b = c = d = e\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} \le 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557055

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Ta xét: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {a^2}}} = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{11 + {a^2}}} = \left( {a - 1} \right)\dfrac{{a + 1}}{{11 + {a^2}}} \ge 0\\\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} = \left( {b - 1} \right)\dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}} \ge 0\\\dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} = \left( {c - 1} \right)\dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}} \ge 0\end{array} \right.\)

Giả sử: \(a \ge b \ge c \ge d \Leftrightarrow a + 1 \ge b + 1 \ge c + 1 \ge d + 1\)

Xét \(\left( {a + 1} \right)\left( {11 + {b^2}} \right) - \left( {b + 1} \right)\left( {11 + {a^2}} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {ab - 11 + b + a} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {11 + {b^2}} \right) \ge \left( {b + 1} \right)\left( {11 + {a^2}} \right) \Rightarrow \dfrac{{a + 1}}{{11 + {a^2}}} \ge \dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}} \ge \dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}}\) và \(\dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}} \ge \dfrac{{d + 1}}{{11 + {d^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{a + 1}}{{11 + {a^2}}} \ge \dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}} \ge \dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}} \ge \dfrac{{d + 1}}{{11 + {d^2}}}\)

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ge b - 1 \ge c - 1 \ge d - 1\\\dfrac{{a + 1}}{{11 + {a^2}}} \ge \dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}} \ge \dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}} \ge \dfrac{{d + 1}}{{11 + {d^2}}}\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\dfrac{{a + 1}}{{11 + {a^2}}} + \left( {b - 1} \right)\dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}} + \left( {c - 1} \right)\dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}} + \left( {d - 1} \right)\dfrac{{d + 1}}{{11 + {d^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{1}{4}\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right) + \left( {d - 1} \right)} \right]\left( {\dfrac{{a + 1}}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{{b + 1}}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{{c + 1}}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{{d + 1}}{{11 + {d^2}}}} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{11 + {d^2}}} \ge - \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{4} - \left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right) \ge - \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{4} - \left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right) + \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{11 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {b^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {c^2}}} + \dfrac{1}{{11 + {d^2}}}} \right) \le 3\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = d = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link