Cho \(a,b,c \ge 0\) thoả mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{{a^2} - a + 3}} + \dfrac{1}{{{b^2}

Câu hỏi số 557056:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c \ge 0\) thoả mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{{a^2} - a + 3}} + \dfrac{1}{{{b^2} - b + 3}} + \dfrac{1}{{{c^2} - c + 3}} \le 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557056

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Ta xét: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{{a^2} - a + 3}} = \dfrac{{{a^2} - a}}{{{a^2} - a + 3}} = \dfrac{{a - 1}}{{a + \dfrac{3}{a} - 1}} \ge 0\\\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{{b^2} - b + 3}} = \dfrac{{b - 1}}{{b + \dfrac{3}{b} - 1}} \ge 0\\\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{{c^2} - c + 3}} = \dfrac{{c - 1}}{{c + \dfrac{3}{c} - 1}} \ge 0\end{array} \right.\)

Giả sử \(a \ge b \ge c \Leftrightarrow a - 1 \ge b - 1 \ge c - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( {a + \dfrac{3}{a} - 1} \right) - \left( {b + \dfrac{3}{b} - 1} \right) = a - b + 3\dfrac{{b - a}}{{b + a}} = \left( {a - b} \right)\left( {1 - \dfrac{3}{{a + b}}} \right) \le 0\left( {a + b \le 3} \right)\)

\( \Rightarrow a + \dfrac{3}{a} - 1 \le b + \dfrac{3}{b} - 1\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(b + \dfrac{3}{b} - 1 \le c + \dfrac{3}{c} - 1\)

\( \Rightarrow a + \dfrac{3}{a} - 1 \le b + \dfrac{3}{b} - 1 \le c + \dfrac{3}{c} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\dfrac{{a - 1}}{{a + \dfrac{3}{a} - 1}} + \dfrac{{b - 1}}{{b + \dfrac{3}{b} - 1}} + \dfrac{{c - 1}}{{c + \dfrac{3}{c} - 1}} \ge \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right)} \right]\left( {\dfrac{1}{{a + \dfrac{3}{a} - 1}} + \dfrac{1}{{b + \dfrac{3}{b} - 1}} + \dfrac{1}{{c + \dfrac{3}{c} - 1}}} \right)\)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{a - 1}}{{a + \dfrac{3}{a} - 1}} + \dfrac{{b - 1}}{{b + \dfrac{3}{b} - 1}} + \dfrac{{c - 1}}{{c + \dfrac{3}{c} - 1}} \ge 0\) (đpcm)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link