Cho \(a,b,c \ge 0\) và \(0 \le k \le 2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2} + bc}}{{{b^2} + {c^2} + k{a^2}}} +

Câu hỏi số 557057:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c \ge 0\) và \(0 \le k \le 2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2} + bc}}{{{b^2} + {c^2} + k{a^2}}} + \dfrac{{{b^2} + ac}}{{{a^2} + {c^2} + k{b^2}}} + \dfrac{{{c^2} + ab}}{{{a^2} + {b^3} + k{c^2}}} \ge 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557057

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư – sép trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\)

Thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Ta xét: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{b^2} + {c^2} + k{a^2}}} = \dfrac{{\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge 0\\\dfrac{{{b^2} - ac}}{{{a^2} + {c^2} + k{b^2}}} = \dfrac{{\left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right)}}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^3}} \right)\left( {a + c} \right)}} \ge 0\\\dfrac{{{c^2} - ab}}{{{a^2} + {b^2} + k{c^2}}} = \dfrac{{\left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + k{c^2}} \right)\left( {a + b} \right)}} \ge 0\end{array} \right.\)

Giả sử \(a \ge b \ge c\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} \ge {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow {a^2} - bc \ge {b^2} - ac \ge {c^2} - ab\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right) \ge \left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right) \ge \left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)\end{array}\)

Xét \(\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right) - \left( {{c^2} + {a^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right) = - \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {k - 1} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \right) \le 0\left( {0 \le k \le 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right) \le \left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge \dfrac{1}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right)}}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{1}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)}} \ge \dfrac{1}{{\left( {{a^2} + {b^2} + k{c^2}} \right)\left( {a + b} \right)}}\)

Xét các số sau: \(\dfrac{{\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right)}};\dfrac{{\left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right)}}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right)}};\dfrac{{\left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + k{c^2}} \right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép , ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{{\left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right)}}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right)}} + \dfrac{{\left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + k{c^2}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right) + \left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right) + \left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)} \right]\left( \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right)}}\\ + \dfrac{1}{{\left( {{a^2} + {b^2} + k{c^2}} \right)\left( {a + b} \right)}}\end{array} \right)\end{array}\)Dễ thấy \(\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right) + \left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right) + \left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {{b^2} + {c^2} + k{a^2}} \right)\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{{\left( {{b^2} - ac} \right)\left( {a + c} \right)}}{{\left( {{a^2} + {c^2} + k{b^2}} \right)\left( {a + c} \right)}} + \dfrac{{\left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {{a^2} + {b^2} + k{c^2}} \right)}} \ge 0\) (đpcm)

Nếu \(k > 2\) thì dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Nếu \(k = 2\) thì dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {a,b,c} \right) = \left( {1;1;0} \right)\) và các hoán vị.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link