Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab\) với \(a,b\) là các số thực thoả mãn \({a^2} + ab + {b^2} = 3\).

Câu hỏi số 557227:

Thông hiểu

Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab\) với \(a,b\) là các số thực thoả mãn \({a^2} + ab + {b^2} = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557227

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Co – si: Với \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực không âm, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Giải chi tiết

Ta có: + \(P = {a^4} + {b^4} - ab = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2{a^2}{b^2} - ab = {\left( {3 - ab} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} - ab = - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{{85}}{4}\)

+ \({a^2} + ab + {b^2} = 3 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + ab = 3 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - ab = 3 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 3 + ab\)

Mà \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 3 + ab \ge 0 \Leftrightarrow ab \ge - 3\)

+ \({a^2} + ab + {b^2} = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\)

Áp dụng bất đẳng thức Co – si, ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = 2ab\)

\( \Rightarrow 3 - ab \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le 1\)

Vì \( - 3 \le ab \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 + \dfrac{7}{2} \le ab + \dfrac{7}{2} \le 1 + \dfrac{7}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le ab + \dfrac{7}{2} \le \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \le \dfrac{{81}}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow - \dfrac{{81}}{4} \le - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \le - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - 1 \le - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{{85}}{4} \le 21\)

\( \Rightarrow - 1 \le P \le 21\)

Do đó, \({P_{\min }} = 21 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 ;b = - \sqrt 3 \\a = - \sqrt 3 ;b = \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\({P_{\max }} = - 1 \Leftrightarrow a = b = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link