Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thoả mãn: \(x + 2y + 3z = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 557228:

Thông hiểu

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thoả mãn: \(x + 2y + 3z = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(S = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + 3z}}} + \sqrt {\dfrac{{3yz}}{{3yz + x}}} + \sqrt {\dfrac{{3xz}}{{3xz + 4y}}} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557228

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Co – si: Với \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực không âm, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Giải chi tiết

Đặt \(a = x;b = 2y;c = 3z\), ta được: \(a,b,c > 0;a + b + c = 2\)

Khi đó \(S = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{ab + 2c}}} + \sqrt {\dfrac{{bc}}{{bc + 2a}}} + \sqrt {\dfrac{{ac}}{{ac + 2b}}} \)

Xét \(\sqrt {\dfrac{{ab}}{{ab + 2c}}} = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{ab + \left( {a + b + c} \right)c}}} = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{{a + c}} + \dfrac{b}{{b + c}}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{{a + c}} = \dfrac{b}{{b + c}}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\sqrt {\dfrac{{bc}}{{bc + 2a}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{b}{{b + a}} + \dfrac{c}{{c + a}}} \right);\sqrt {\dfrac{{ac}}{{ac + 2b}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{{a + c}} + \dfrac{c}{{c + b}}} \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{b}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + a}};\dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{b + c}}\)

Cộng các vế bất đẳng thức trên với nhau, ta được:

\(S = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{ab + 2c}}} + \sqrt {\dfrac{{bc}}{{bc + 2a}}} + \sqrt {\dfrac{{ac}}{{ac + 2b}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{a + b}}{{a + b}} + \dfrac{{b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + c}}{{a + c}}} \right) = \dfrac{3}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{2}{3}\)

Vậy \({S_{max}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3};y = \dfrac{1}{3};z = \dfrac{2}{9}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link