Cho ba số thực \(a,b,c\). Chứng minh rằng:\({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} +

Câu hỏi số 557229:

Vận dụng

Cho ba số thực \(a,b,c\). Chứng minh rằng:

\({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} + {\left( {{c^2} - ab} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{b^2} - ac} \right)\left( {{c^2} - ab} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557229

Phương pháp giải

Đặt \(x = {a^2} - bc;y = {b^2} - ac;z = {c^2} - ab\)

Xét hiệu: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)

Ta cần chứng minh \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

Giải chi tiết

Đặt \(x = {a^2} - bc;y = {b^2} - ac;z = {c^2} - ab\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\\ = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xyz + {z^2}\\ = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) - 3xyz + {z^3}\\ = {\left( {x + y} \right)^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right]\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\end{array}\)

Ta có:

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\forall x,y,z\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) \ge 0\\ \Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\end{array}\)

Hay \({\left( {{a^2} - bc} \right)^3} + {\left( {{b^2} - ca} \right)^3} + {\left( {{c^2} - ab} \right)^3} \ge 3\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{b^2} - ca} \right)\left( {{c^2} - ab} \right)\left( {dpcm} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link