Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thoả mãn \(x + y + z \ge 2019\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 557230:

Vận dụng

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thoả mãn \(x + y + z \ge 2019\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T = \dfrac{{{x^2}}}{{x + \sqrt {yz} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{y + \sqrt {zx} }} + \dfrac{{{z^2}}}{{z + \sqrt {xy} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557230

Phương pháp giải

+ Tổng các ước nguyên dương của \({p^2}\) là một số chính phương.

+ Bất đẳng thức Co – si: Với \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực không âm, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

+ Bất đẳng thức Bunhicopxki cho hai bộ số \(\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)\) ta có:

\(\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki cho ba bộ số: \(\left( {\dfrac{a}{{\sqrt x }};\sqrt x } \right),\left( {\dfrac{b}{{\sqrt y }};\sqrt y } \right),\left( {\dfrac{c}{{\sqrt z }};\sqrt z } \right)\), ta có:

\(\left( {\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z}} \right)\left( {x + y + z} \right) = \left[ {{{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt x }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{{\sqrt y }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{c}{{\sqrt z }}} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt y } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt z } \right)}^2}} \right]\)

\( \ge {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt x }}.\sqrt x + \dfrac{b}{{\sqrt y }}.\sqrt y + \dfrac{c}{{\sqrt z }}.\sqrt z } \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\left( * \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co – si, ta có: \(\sqrt {yz} \le \dfrac{{y + z}}{2};\sqrt {zx} \le \dfrac{{z + x}}{2};\sqrt {xy} \le \dfrac{{x + y}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T \ge \dfrac{{{x^2}}}{{x + \dfrac{{y + z}}{2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y + \dfrac{{z + x}}{2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{z + \dfrac{{x + y}}{2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{2x + y + z}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{x + 2y + z}} + \dfrac{{2{z^2}}}{{x + y + 2z}}\\ \Rightarrow T \ge 2\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{2x + y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + 2y + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y + 2z}}} \right)\end{array}\)\( \Leftrightarrow T \ge 2\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{4\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{{x + y + z}}{2} = \dfrac{{2019}}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 673\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({T_{\min }} = \dfrac{{2019}}{2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = 673\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link