Cho ba số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt

Câu hỏi số 557231:

Vận dụng

Cho ba số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} \ge \dfrac{{16}}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557231

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức AM – GM: Với mọi số thực không âm \({a_1},{a_2},...{a_n}\left( {n \ge 2} \right)\) ta có:

\({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}.{a_2}...{a_n}}}\)

+ Bất đẳng thức Bunhicopxki cho hai bộ số \(\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right)\) ta có:

\(\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:\(b + 2c \ge 2\sqrt {2bc} \)

\(VT = \dfrac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} + 3 \ge \dfrac{2}{{2a + b + b + c}} + 3 = \dfrac{1}{{a + b + c}} + 3\)

Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhicopxki, ta có:

\(\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {1 + 1} \right)\left[ {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} \right]} \ge \sqrt {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} = b + a + c\)

\( \Rightarrow VP = \dfrac{{16}}{{a + b + c + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{a + b + c}} + 3 - \dfrac{{16}}{{a + b + c + 3}}\\ = \dfrac{{a + b + c + 3}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}} + \dfrac{{3\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}} - \dfrac{{16\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{3\left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2\left( {a + b + c} \right) + 1} \right]}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{3{{\left[ {\left( {a + b + c} \right) - 1} \right]}^2}}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}}\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left[ {\left( {a + b + c} \right) - 1} \right]^2} \ge 0\\\left( {a + b + c} \right) \ge 0\\\left( {a + b + c + 3} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{3{{\left[ {\left( {a + b + c} \right) - 1} \right]}^2}}}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{a + b + c}} + 3 \ge \dfrac{{16}}{{a + b + c + 3}}\\ \Rightarrow \dfrac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} \ge \dfrac{{16}}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}}\end{array}\)(đpcm)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\b = 2c\\b = a + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = \dfrac{1}{4}\\b = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link