Cho ba số dương \(x,y,z\) thoả mãn \(xyz = 2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{x}{{2{x^2} + {y^2} + 5}} +

Câu hỏi số 557232:

Vận dụng

Cho ba số dương \(x,y,z\) thoả mãn \(xyz = 2\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{x}{{2{x^2} + {y^2} + 5}} + \dfrac{{2y}}{{6{y^2} + {z^2} + 5}} + \dfrac{{4z}}{{3{z^2} + 4{x^2} + 16}} \le \dfrac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557232

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Co – si: Với \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực không âm, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 5 = {x^2} + {y^2} + {x^2} + 1 + 4\\6{y^2} + {z^2} + 6 = 4{y^2} + {z^2} + 2\left( {{y^2} + 1} \right) + 4\\3{z^2} + 4{x^2} + 16 = {z^2} + 4{x^2} + 2\left( {{z^2} + 4} \right) + 8\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Co – si:

+ \({x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}.{y^2}} = 2xy\)

+ \({x^2} + 1 \ge 2\sqrt {{x^2}.1} = 2x\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + {y^2} + 5 \ge 2xy + 2x + 4 \Rightarrow \dfrac{x}{{2{x^2} + {y^2} + 5}} \le \dfrac{x}{{2\left( {xy + x + 2} \right)}}\)(1)

+ \(4{y^2} + {z^2} \ge 2\sqrt {4{y^2}.{z^2}} = 4yz\)

+ \({y^2} + 1 \ge 2\sqrt {{y^2}.1} = 2y\)

\( \Rightarrow 6{y^2} + {z^2} + 6 \ge 4yz + 4y + 4 \Rightarrow \dfrac{{2y}}{{6{y^2} + {z^2} + 6}} \le \dfrac{{2y}}{{4yz + 4y + 4}} = \dfrac{y}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}}\)(2)

+ \({z^2} + 4{x^2} \ge 2\sqrt {{z^2}.4{x^2}} = 4zx\)

+ \({z^2} + 4 \ge 2\sqrt {{z^2}.4} = 4z\)

\( \Rightarrow 3{z^2} + 4{x^2} + 16 \ge 4zx + 8z + 8 \Rightarrow \dfrac{{4z}}{{3{z^2} + 4{x^2} + 16}} \le \dfrac{{4z}}{{4zx + 8z + 8}} = \dfrac{z}{{zx + 2z + 2}}\) (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

\(VP \le \dfrac{x}{{2\left( {xy + x + 2} \right)}} + \dfrac{y}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}} + \dfrac{z}{{zx + 2z + 2}}\)

\( = \dfrac{x}{{2\left( {xy + x + xyz} \right)}} + \dfrac{y}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}} + \dfrac{{zy}}{{xyz + 2yz + 2y}}\) ( Vì \(xyz = 2\))

\( = \dfrac{x}{{2x\left( {yz + y + 1} \right)}} + \dfrac{y}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}} + \dfrac{{yz}}{{2 + 2yz + 2y}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}} + \dfrac{y}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}} + \dfrac{{yz}}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}} = \dfrac{{yz + y + 1}}{{2\left( {yz + y + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1,z = 2\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link