Với \(x,y\) là các số thực thoả mãn \(\left( {2 + x} \right)\left( {y - 1} \right) = \dfrac{9}{4}\). Tìm

Câu hỏi số 557233:

Vận dụng

Với \(x,y\) là các số thực thoả mãn \(\left( {2 + x} \right)\left( {y - 1} \right) = \dfrac{9}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {{x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 2} + \sqrt {{y^4} - 8{y^3} + 24{y^2} - 32y + 17} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557233

Phương pháp giải

+ \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

+ \({\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\)

+ Bất đẳng thức Co – si: Với \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực không âm, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

+ Bất đẳng thức Minicopxki: Với mọi số thực \(a,b,x,y\) ta có:

\(\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \le \sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {y^2}} \)

+ Bất đẳng thức AM – GM: Với mọi số thực không âm \({a_1},{a_2},...{a_n}\left( {n \ge 2} \right)\) ta có:

\({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}.{a_2}...{a_n}}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(A = \sqrt {{x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1 + 1} + \sqrt {{y^4} - 8{y^3} + 24{y^2} - 32y + 16 + 1} = \sqrt {1 + {{\left( {x + 1} \right)}^4}} + \sqrt {1 + {{\left( {y - 2} \right)}^4}} \)

Đặt \(a = x + 1,b = y - 2\). Thay vào A ta được: \(A = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} \)

Theo đề bài ta có: \(\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow a + b + ab = \dfrac{5}{4}\)

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + 1 \ge 4a\\4{b^2} + 1 \ge 4b\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge a + b - \dfrac{1}{2}\left( 1 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Co – si ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}.{b^2}} = 2ab \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge ab\left( 2 \right)\)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được: \(\dfrac{3}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge a + b + ab - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Minicopxki, ta có:

\(A = \sqrt {1 + {a^4} + \sqrt {1 + {b^4}} } \ge \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} + 4} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 4} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2};y = \dfrac{5}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\)khi và chỉ khi \(x = - \dfrac{1}{2};y = \dfrac{5}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link