Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a + b + c \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P =

Câu hỏi số 557235:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(a,b,c\) thoả mãn \(a + b + c \le 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{2019}}{{ab + bc + ac}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557235

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Co – si: Với \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực không âm, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Co – si cho ba số:

+ \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

+ \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{abc}}}}\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\left( * \right)\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ac} \right)\\ = \left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)} \right] - 2\left( {ab + bc + ac} \right) - \left( {ab + bc + ac} \right)\end{array}\)

\( = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right)\)

Vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge ab + bc + ac\)

\( \Leftrightarrow ab + bc + ac \ge \dfrac{1}{3}\) (Vì \(a + b + c \le 1\))

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \left( {ab + bc + ac} \right) + \left( {ab + bc + ac} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {a + b + c} \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{ab + bc + ac}} + \dfrac{1}{{ab + bc + ac}}} \right) \ge 9\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{2}{{ab + bc + ac}} \ge 9\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{3}{2} \ge 9\) (Vì \(ab + bc + ac \le \dfrac{1}{3}\))

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \dfrac{{15}}{2}\)

Mặt khác ta có: \(ab + bc + ac \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{2019}}{{ab + bc + ac}} \ge 6057\)

Cộng hai vế của các bất đẳng thức, ta được: \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{2019}}{{ab + bc + ac}} \ge \dfrac{{15}}{2} + 6057 = \dfrac{{12129}}{2}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chi khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\)

Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{12129}}{2} \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link