Cho \(a,b,c\) là ba số dương thoả mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{9 - ab}} +

Câu hỏi số 557236:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là ba số dương thoả mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{9 - ab}} + \dfrac{1}{{9 - ac}} + \dfrac{1}{{9 - bc}} \le \dfrac{3}{8}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557236

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Tre – bư –sép: Trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \ge {a_2} \ge ... \ge {a_n}\\{b_1} \ge {b_2} \ge ... \ge {b_n}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} \le {a_2} \le ... \le {a_n}\\{b_1} \le {b_2} \le ... \le {b_n}\end{array} \right.\) thì \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n} \ge \dfrac{1}{n}\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)\left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = a{ & _2} = ... = {a_n}\) hoặc \({b_1} = {b_2} = ... = {b_n}\)

Giải chi tiết

Đặt \(x = ab;y = bc;z = ac\). Thay vào đề bài ta được: \(\dfrac{1}{{9 - x}} + \dfrac{1}{{9 - y}} + \dfrac{1}{{9 - z}} \le \dfrac{3}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{{9 - x}} + \dfrac{{1 - y}}{{9 - y}} + \dfrac{{1 - z}}{{9 - z}} \le 0\)

Bài toán thành chứng minh \(\dfrac{{1 - x}}{{9 - x}} + \dfrac{{1 - y}}{{9 - y}} + \dfrac{{1 - z}}{{9 - z}} \ge 0\)

Ta cần chọn \({a_x},{a_y},{a_z}\) sao cho \(\left[ {{a_x}\left( {1 - x} \right);{a_y}\left( {1 - y} \right);{a_z}\left( {1 - z} \right)} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{1}{{{a_x}\left( {9 - x} \right)}};\dfrac{1}{{{a_y}\left( {9 - y} \right)}};\dfrac{1}{{{a_z}\left( {9 - z} \right)}}} \right]\) là hai dãy đơn điệu cùng chiều (*)

Ta chọn dãy \({a_x} = \alpha + x;{a_y} = \alpha + y;{a_z} = \alpha z\)

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {\alpha + x} \right)\left( {1 - x} \right) - \left( {\alpha + y} \right)\left( {1 - y} \right) = \left( {y - x} \right)\left( {y + x + \alpha - 1} \right)\left( 1 \right)\\\dfrac{1}{{\left( {\alpha + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {\alpha + y} \right)\left( {9 - y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y + \alpha - 9} \right)}}{{\left( {\alpha + x} \right)\left( {9 - x} \right)\left( {\alpha + y} \right)\left( {9 - y} \right)}}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) chọn \(\alpha = 6\) để (*) thoả mãn và khi áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép thuận lợi.

Thay vào ta được \({a_x} = 6 + x;{a_y} = 6 + y;{a_z} = 6 + z\)

Giả sử \(x \ge y \ge z\)

Xét hiệu:

+ \(\left( {6 + x} \right)\left( {1 - x} \right) - \left( {6 + y} \right)\left( {1 - y} \right) = \left( {y - x} \right)\left( {x + y + 3} \right) \le 0\)

\( \Rightarrow \left( {6 + x} \right)\left( {1 - x} \right) \le \left( {6 + y} \right)\left( {1 - y} \right)\)

+ \(\dfrac{1}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {6 + y} \right)\left( {9 - y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y - 3} \right)}}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)\left( {6 + y} \right)\left( {9 - y} \right)}} \le 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} \le \dfrac{1}{{\left( {6 + y} \right)\left( {9 - y} \right)}}\)

Chứng minh tương tự ta thu được: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {6 + x} \right)\left( {1 - x} \right) \le \left( {6 + y} \right)\left( {1 - y} \right) \le \left( {6 + z} \right)\left( {1 - z} \right)\\\dfrac{1}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} \le \dfrac{1}{{\left( {6 + y} \right)\left( {9 - y} \right)}} \le \dfrac{1}{{\left( {6 + z} \right)\left( {9 - z} \right)}}\end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Tre – bư – sép, ta có:

\(\dfrac{{1 - x}}{{9 - x}} + \dfrac{{1 - y}}{{9 - y}} + \dfrac{{1 - z}}{{9 - z}} = \dfrac{{\left( {6 + x} \right)\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} + \dfrac{{\left( {6 + y} \right)\left( {1 - y} \right)}}{{\left( {6 + y} \right)\left( {9 - y} \right)}} + \dfrac{{\left( {6 + z} \right)\left( {1 - z} \right)}}{{\left( {6 + z} \right)\left( {9 - z} \right)}}\)

\( \ge \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {6 + x} \right)\left( {1 - x} \right) + \left( {6 + y} \right)\left( {1 - y} \right) + \left( {6 + z} \right)\left( {1 - z} \right)} \right]\left( {\dfrac{1}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {6 + y} \right)\left( {9 - y} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {6 + z} \right)\left( {9 - z} \right)}}} \right)\)

Cần chứng minh: \(\left( {6 + x} \right)\left( {1 - x} \right) + \left( {6 + y} \right)\left( {1 - y} \right) + \left( {6 + z} \right)\left( {1 - z} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 18 - 59\left( {x + y + z} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} \right) + 5\left( {ab + bc + ac} \right) \le 18\\ \Leftrightarrow {\left( {ab + bc + ac} \right)^2} + 5\left( {ab + bc + ac} \right) \le 6\left( {abc + 3} \right) = 2.3\left( {abc + 3} \right) \le 2.4\left( {ab + bc + ac} \right)\\ \Rightarrow {\left( {ab + bc + ac} \right)^2} + 5\left( {ab + bc + ac} \right) \le 8\left( {ab + bc + ac} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {ab + bc + ac} \right) \le 3\end{array}\)
\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{1 - x}}{{9 - x}} + \dfrac{{1 - y}}{{9 - y}} + \dfrac{{1 - z}}{{9 - z}} \ge \dfrac{1}{{\left( {6 + x} \right)\left( {9 - x} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {6 - y} \right)\left( {9 - y} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {6 - z} \right)\left( {9 - z} \right)}} \ge 0\) (đpcm)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link