Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y – 1 = 0 và hai điểm A(3;-3;-1), B(9;5;-1). Gọi M là

Câu hỏi số 557494:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y – 1 = 0 và hai điểm A(3;-3;-1), B(9;5;-1). Gọi M là điểm thay đổi nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M. Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\) tương ứng là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB. Tính giá trị biểu thức \(T = {S_2} - {S_1}\).

A. T = 5

B. T = 45

C. T = 1

D. T = 10

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557494

Giải chi tiết

Ta có: \({S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}MA.MB \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} = \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{100}}{4} = 25\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\Delta AMB\) vuông cân tại \(M\).

Vậy \({S_2} = 25\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;8;0} \right)\), \(AB = 10\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 3y - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 3;0} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 6.4 - 8.3 = 0 \Rightarrow AB//\left( P \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {6;1; - 1} \right)\).

Xét mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) \( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\), bán kính \(R = 5\).

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {6.4 - 3 - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 4 < R\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\).

Ta có: \(IH \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IH}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 3;0} \right)\)

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng \(IH\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4t + 6\\y = - 3t + 1\\z = - 1\end{array} \right.\).

Mà \(H \in IH\) nên \(H\left( {4t + 6; - 3t + 1; - 1} \right)\).

Hơn nữa \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 4\left( {4t + 6} \right) - 3\left( { - 3t + 1} \right) - 1 = 0 \Rightarrow t = - \dfrac{4}{5}\).

Khi đó \(H\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}; - 1} \right)\).

Ta có: \({S_{AMB}} \ge {S_{AHB}} = \dfrac{1}{2}.HI.AB = \dfrac{1}{2}.4.10 = 20\).

Vậy \({S_1} = 20\).

Vậy \(T = {S_2} - {S_1} = 25 - 20 = 5\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.