Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi}
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất m của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi z = a + bi, tìm đường tròn (C) tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
- Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) \( \Rightarrow A,B \in \left( C \right)\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4 \Rightarrow AB = 4\).
- Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {MO} } \right| = 4MO\)
- Tính IH, IM, suy ra quỹ tích điểm M.
- Tìm IM min.
Gọi z = a + bi ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right)\\ = \left( {a + bi - 6} \right)\left( {8 + \overline {\left( {a + bi} \right)i} } \right)\\ = \left( {a - 6 + bi} \right) + \left( {8 - b - ai} \right)\\ = \left( {a - 6} \right)\left( {8 - b} \right) - a\left( {a - 6} \right) + b\left( {8 - b} \right) + abi\end{array}\)
\(\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right)\) là số thực \( \Rightarrow - a\left( {a - 6} \right) + b\left( {8 - b} \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6a - 8b = 0\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(3;4), bán kính R = 5.
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) \( \Rightarrow A,B \in \left( C \right)\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4 \Rightarrow AB = 4\).
Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {MO} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} \). Khi đó ta có \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right| = 4\left| {\overrightarrow {MO} } \right| = 4MO\).
Gọi H là trung điểm của AB ta có: \(H{I^2} = I{B^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = 25 - \dfrac{{16}}{4} = 21\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = - 3\overrightarrow {MB} \Rightarrow MB = \dfrac{1}{4}AB = 1 \Rightarrow MH = HB - MB = 1\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(IM = \sqrt {I{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {22} \).
=> M thuộc đường tròn tâm I(3;4), bán kính \(R' = \sqrt {22} \).
Ta có \(O{M_{\min }} = OI - R' = 5 - \sqrt {22} \).
Vậy \({\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} = 4\left( {5 - \sqrt {22} } \right) = m\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
