Giả sử a, b,c , d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 4(a3 + b3 + c3) + 9d3 .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 55877:

Giả sử a, b,c , d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 4(a³ + b³ + c³) + 9d³ .

A. $\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

B. $\frac{18}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

C. $\frac{9}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

D. $\frac{1}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{3}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:55877

Giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh với mọi x, y, z ≥ 0, ta có: x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz (*)

Tự chứng minh 3 số hoặc phân tích thành nhân tử, các trường THPT chuyên tại TP HCM không cho HS dùng bất đẳng thức Cosi. Vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử a = b = c = kd thì P đạt GTNN.

Khi đó, áp dụng (*) ta có:

(1) $\frac{1}{k^{2}}(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ ≥ $\frac{3abc}{k^{2}}$

(2) $d^{3}+\frac{a^{3}}{k^{3}}+\frac{b^{3}}{k^{3}}$ ≥ $\frac{3dab}{k^{2}}$

(3) $d^{3}+\frac{b^{3}}{k^{3}}+\frac{c^{3}}{k^{3}}$ ≥ $\frac{3bcd}{k^{2}}$

(4) $d^{3}+\frac{c^{3}}{k^{3}}+\frac{a^{3}}{k^{3}}$ ≥ $\frac{3dca}{k^{2}}$

=> $3d^{3}+(\frac{2}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}})(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ ≥ $\frac{3}{k^{2}}(abc+bcd+cda+dab)$

=> $9d^{3}+3(\frac{2}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}})(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ ≥ $\frac{9}{k^{2}}$

Vậy ta tìm được k thỏa mãn => $3(\frac{2}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}})=4$

=> $4k^{3}-3k-6=0$

Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^{2}$ ; ta có: $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^{3}-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6$

<=> $x^{6}-12x^{3}+1=0$ <=> $x=\sqrt[3]{6\pm \sqrt{35}}$

Lưu ý: $(6-\sqrt{35})(6+\sqrt{35})=1$ => $k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$

Với k xác định trên ta được: GTNN của P bằng : $\frac{9}{k^{2}}=$ $\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link