Giả sử a, b,c , d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 4(a3 + b3 + c3) + 9d3 .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 55877:

Giả sử a, b,c , d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 4(a³ + b³ + c³) + 9d³ .

A. $\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

B. $\frac{18}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

C. $\frac{9}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

D. $\frac{1}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{3}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:55877

Giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh với mọi x, y, z ≥ 0, ta có: x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz (*)

Tự chứng minh 3 số hoặc phân tích thành nhân tử, các trường THPT chuyên tại TP HCM không cho HS dùng bất đẳng thức Cosi. Vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử a = b = c = kd thì P đạt GTNN.

Khi đó, áp dụng (*) ta có:

(1) $\frac{1}{k^{2}}(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ ≥ $\frac{3abc}{k^{2}}$

(2) $d^{3}+\frac{a^{3}}{k^{3}}+\frac{b^{3}}{k^{3}}$ ≥ $\frac{3dab}{k^{2}}$

(3) $d^{3}+\frac{b^{3}}{k^{3}}+\frac{c^{3}}{k^{3}}$ ≥ $\frac{3bcd}{k^{2}}$

(4) $d^{3}+\frac{c^{3}}{k^{3}}+\frac{a^{3}}{k^{3}}$ ≥ $\frac{3dca}{k^{2}}$

=> $3d^{3}+(\frac{2}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}})(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ ≥ $\frac{3}{k^{2}}(abc+bcd+cda+dab)$

=> $9d^{3}+3(\frac{2}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}})(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ ≥ $\frac{9}{k^{2}}$

Vậy ta tìm được k thỏa mãn => $3(\frac{2}{k^{3}}+\frac{1}{k^{2}})=4$

=> $4k^{3}-3k-6=0$

Đặt $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^{2}$ ; ta có: $k=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^{3}-\frac{3}{2}(a+\frac{1}{a})=6$

<=> $x^{6}-12x^{3}+1=0$ <=> $x=\sqrt[3]{6\pm \sqrt{35}}$

Lưu ý: $(6-\sqrt{35})(6+\sqrt{35})=1$ => $k=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})$

Với k xác định trên ta được: GTNN của P bằng : $\frac{9}{k^{2}}=$ $\frac{36}{(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}})^{2}}$

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link