Trên nửa đường tròn đường kính \(AB\), lấy hai điểm \(I,Q\) sao cho \(I\) thuộc cung nhỏ \(AQ.\)

Câu hỏi số 559038:

Vận dụng

Trên nửa đường tròn đường kính \(AB\), lấy hai điểm \(I,Q\) sao cho \(I\) thuộc cung nhỏ \(AQ.\) Gọi \(C\) là giao điểm hai tia \(AI\) và \(BQ\); \(H\) là giao điểm của hai dây \(AQ\) và \(BI\).

a) Chứng minh tứ giác \(CIHQ\) nội tiếp;

b) Chứng minh: \(CI.AI = HI.BI\);

c) Biết \(AB = 2R\). Tính giá trị biểu thức: \(M = AI.AC + BQ.BC\) theo \(R\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559038

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(\Delta AIH \sim \Delta BIC\left( {g.g} \right) \Rightarrow CI.AI = HI.BI\)

c) Biến đổi \(M = AI.AC + BQ.BC\) dựa vào các định lý Py – ta – go trong tam giác vuông, tỉ lệ các cạnh của tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết

Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn đường kính \(AB\)

a) Chứng minh tứ giác \(CIHQ\) nội tiếp;

Xét \(\left( O \right)\) có:

\(I \in \left( O \right) \Rightarrow \angle AIB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow CIB = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AIB\))

\(Q \in \left( O \right) \Rightarrow \angle AQB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle AQC = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AQB\))

Xét tứ giác \(CIHQ\) có: \(\angle CIH + \angle CQH = \angle CIB + \angle CQA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle CIH,\angle CQH\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow CIHQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh: \(CI.AI = HI.BI\);

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle IAQ = \angle IBQ\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(IQ\))

Xét \(\Delta AIH\) và \(\Delta BIC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AIH = \angle CIB = {90^0}\\\angle IAH = \angle IBC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AIH \sim \Delta BIC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{BI}} = \dfrac{{HI}}{{CI}}\\ \Rightarrow CI.AI = HI.BI\end{array}\)

c) Biết \(AB = 2R\). Tính giá trị biểu thức: \(M = AI.AC + BQ.BC\) theo \(R\).

Ta có:

\(M = AI.AC + BQ.BC\)

\(\begin{array}{l} = AC\left( {AC - IC} \right) + BQ\left( {BQ + QC} \right)\\ = A{C^2} - AC.IC + B{Q^2} + BQ.QC\\ = A{Q^2} + Q{C^2} - AC.IC + B{Q^2} + BQ.QC\\ = \left( {A{Q^2} + B{Q^2}} \right) + QC\left( {QC + BQ} \right) - AC.IC\\ = A{B^2} + QC.BC - AC.IC\end{array}\)

Tứ giác \(AIQB\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle CIQ = \angle CBA\) (cùng bù với \(\angle AIQ\))

Xét \(\Delta CIQ\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ACB\,\,\,chung\\\angle CIQ = \angle CBA\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CIQ \sim \Delta CBA\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{BC}} = \dfrac{{QC}}{{AC}}\\ \Rightarrow QC.BC = AC.IC\\ \Rightarrow QC.BC - AC.IC = 0\end{array}\)

Suy ra, \(M = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\)

\(\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link