Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Niuton của \({\left(

Câu hỏi số 559893:

Vận dụng cao

Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Niuton của \({\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}\) biết \(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)\).

A. \(490\)

B. \(540\)

C. \(480\)

D. \(495\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559893

Phương pháp giải

+ Công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức:

\({\left( {a + b} \right)^n} = {a^n} + C_n^1{a^{n - 1}} + C_n^2{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a.{b^{n - 1}} + {b^n}\)

+ Trong đó: \(C_n^k = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left[ {n - \left( {k - 1} \right)} \right]}}{{1.2.3...k}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {C_{n + 3}^n + C_{n + 3}^{n + 1}} \right) - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow C_{n + 3}^{n + 1} = 7\left( {n + 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{2!}} = 7\left( {n + 3} \right)\)

\( \Rightarrow n + 2 = 7.2! = 14 \Rightarrow n = 12\)

Khi đó:

\({\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}} = {\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{12}} + C_{12}^1.{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{11}}.\left( {\sqrt {{x^5}} } \right) + C_{12}^2.{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{10}}.{\left( {\sqrt {{x^5}} } \right)^2} + C_{12}^3.{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^9}.{\left( {\sqrt {{x^5}} } \right)^3} + C_{12}^4.{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^8}.{\left( {\sqrt {{x^5}} } \right)^4} + ...\)

\( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là \(C_{12}^4 = \dfrac{{12.\left( {12 - 1} \right).\left( {12 - 2} \right).\left( {12 - 3} \right)}}{{1.2.3.4.5.6.7.8}} = 495\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link