Chứng minh rằng:a) \(\left( {{{11}^{10}} - 1} \right) \vdots 100\)b) \(\left( {{{101}^{100}} - 1} \right) \vdots

Câu hỏi số 559894:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng:

a) \(\left( {{{11}^{10}} - 1} \right) \vdots 100\)

b) \(\left( {{{101}^{100}} - 1} \right) \vdots 10000\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559894

Phương pháp giải

Công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức:

\({\left( {a + b} \right)^n} = {a^n} + C_n^1{a^{n - 1}} + C_n^2{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a.{b^{n - 1}} + {b^n}\)

Giải chi tiết

a) Xét \({11^{10}} = {\left( {10 + 1} \right)^{10}} = C_{10}^0{.10^{10}} + C_{10}^1{.10^9} + ... + C_{10}^{10}{.10^0}\)

\( \Rightarrow {11^{10}} - 1 = {\left( {10 + 1} \right)^{10}} - 1 = C_{10}^0{.10^{10}} + C_{10}^1{.10^9} + ...C_{10}^9.10 + C_{10}^{10}{.10^0} - 1\)

Ta có: \(C_{10}^9 = \dfrac{{10\left( {10 - 1} \right)\left( {10 - 2} \right)...\left( {10 - 8} \right)}}{{1.2.3.4.5.6.7.8.9}} = 10\)

\( \Rightarrow C_{10}^9.10 + C_{10}^{10} - 1 = 10.10 + 1 - 1 = 100 \vdots 100\)

Vì \({10^{10}};{10^9};{10^8} \vdots 100\) và \(\left( {C_{10}^9.10 + C_{10}^{10} - 1} \right) \vdots 100\) nên \(\left( {C_{10}^0{{.10}^{10}} + C_{10}^1{{.10}^9} + ...C_{10}^9.10 + C_{10}^{10}{{.10}^0} - 1} \right) \vdots 100\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{11}^{10}} - 1} \right) \vdots 100\) (đpcm)

b) Xét \({101^{100}} = {\left( {100 + 1} \right)^{100}} = C_{100}^0{.100^{100}} + C_{100}^1{.100^9} + ... + C_{100}^{99}.100 + C_{100}^{100}\)

\( \Rightarrow {101^{100}} - 1 = C_{100}^0{.100^{100}} + C_{100}^1{.100^9} + ... + C_{100}^{99}.100 + C_{100}^{100} - 1\)

Ta có: \(C_{100}^{99} = \dfrac{{100.\left( {100 - 1} \right)\left( {100 - 2} \right)...\left( {100 - 98} \right)}}{{1.2.3...99}} = 100\)

\( \Rightarrow C_{100}^{99}.100 + C_{100}^{100} - 1 = 100.100 + 1 - 1 = 10000 \vdots 10000\)

Vì \(\left( {{{100}^2};{{100}^3};...;{{100}^{100}}} \right) \vdots 10000\) và \(\left( {C_{100}^{99}.100 + C_{100}^{100} - 1} \right) \vdots 10000\) nên \(\left( {{{101}^{100}} - 1} \right) \vdots 10000\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link