Chứng minh rằng:a) \({2^{70}} + {3^{70}}\) chia hết cho \(13\);b) \({17^{19}} + {19^{71}}\) chia hết cho

Câu hỏi số 559895:

Thông hiểu

Chứng minh rằng:

a) \({2^{70}} + {3^{70}}\) chia hết cho \(13\);

b) \({17^{19}} + {19^{71}}\) chia hết cho \(18\);

c) \({36^{63}} - 1\) chia hết cho \(7\) nhưng không chia hết cho\(37\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559895

Phương pháp giải

+ Với mọi số nguyên \(a,b\) và số tự nhiên \(n\) có: \(\left( {{a^n} - {b^n}} \right) \vdots \left( {a - b} \right)\) và \(\left( {{a^{2n + 1}} + {b^{2n + 1}}} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\)

+ Chữ số tận cùng nhân với \(5\) ròi cộng với phần còn lại bằng một số chia hết cho\(7\).

Giải chi tiết

a) \({2^{70}} + {3^{70}} = {\left( {{2^2}} \right)^{35}} + {\left( {{3^2}} \right)^{35}} = {4^{35}} + {9^{35}}\)

Vì \(\left( {{4^{35}} + {9^{35}}} \right) \vdots \left( {4 + 9} \right) \Rightarrow \left( {{2^{70}} + {3^{70}}} \right) \vdots 13\) (đpcm)

b) \({17^{19}} + {19^{71}} = \left( {{{17}^{19}} + 1} \right) + \left( {{{19}^{71}} - 1} \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{{17}^{19}} + {1^{19}}} \right) \vdots \left( {17 + 1} \right)\\\left( {{{19}^{71}} - {1^{71}}} \right) \vdots \left( {19 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{{17}^{19}} + {1^{19}}} \right) \vdots 18\\\left( {{{19}^{71}} - {1^{71}}} \right) \vdots 18\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\left( {{{17}^{19}} + 1} \right) + \left( {{{19}^{71}} - 1} \right)} \right] \vdots 18\) hay \(\left( {{{17}^{19}} + {{19}^{71}}} \right) \vdots 18\) (đpcm)

c) + \({36^{63}} - 1 = {36^{63}} - {1^{63}}\)

Vì \(\left( {{{36}^{63}} - 1} \right) \vdots \left( {36 - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {{{36}^{63}} - 1} \right) \vdots 35 \Rightarrow \left( {{{36}^{63}} - 1} \right) \vdots 7\)

+ \({36^{63}} - 1 = \left( {{{36}^{63}} + 1} \right) - 2\)

Vì \(\left( {{{36}^{63}} + 1} \right) \vdots \left( {36 + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{{36}^{63}} + 1} \right) \vdots 37\)

\( \Rightarrow \left[ {\left( {{{36}^{63}} + 1} \right) - 2} \right]:37\) dư \(2\) hay \({36^{63}} - 1\) chia \(37\) dư \(2\)

Vậy \({36^{63}} - 1\) chia hết cho \(7\) nhưng không chia hết cho\(37\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link