a) Cho \(a\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Chứng minh rằng \({a^2} - 1\) chia hết cho \(24\).b) Cho \(A

Câu hỏi số 559896:

Thông hiểu

a) Cho \(a\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\). Chứng minh rằng \({a^2} - 1\) chia hết cho \(24\).

b) Cho \(A = {n^3} + 6{n^2} + 8n\). Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho \(48\) với mọi \(n\) chẵn.

c) Cho \(n \in \mathbb{N}.\) Chứng minh rằng \({8^n} - 1\) và \({8^n} + 1\) không thể đồng thời là các số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559896

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Với \(m\) là số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại bội của \(m\).

+ Chia hết cho \(2\): các số tự nhiên chẵn

+ Chia hết cho \(3\): Tổng các chữ số chia hết cho \(3\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(24 = {2^3}.3\)

\({a^2} - 1 = \left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{a}\)

+ Ta thấy tử số là tích của hai số nguyên liền trước và liền sau số nguyên tố \(a\)

\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right);\left( {a + 1} \right)\) là số chẵn

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right) \vdots 2\\\left( {a + 1} \right) \vdots 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = \left( {{a^2} - 1} \right) \vdots 2\left( * \right)\)

+ Vì \(a\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right) \vdots 3\\\left( {a + 1} \right) \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{a^2} - 1} \right) \vdots 3\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\)\( \Rightarrow \left( {{a^2} - 1} \right) \vdots 24\) (đpcm)

b) \(A = {n^3} + 6{n^2} + 8n = n\left( {{n^2} + 6n + 8} \right)\)

Vì \(n\) chẵn nên sẽ có dạng \(n = 2k\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Thay \(n = 2k\) vào \(A\) ta được:

\(A = 2k\left( {4{k^2} + 12k + 8} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 8k\left( {{k^2} + 3k + 2} \right)\\ = 8k\left( {{k^2} + k + 2k + 2} \right)\\ = 8k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\end{array}\)

Vì \(8k \vdots 8 \Rightarrow \left[ {8k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right] \vdots 8\)

Vì là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left[ {k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right] \vdots 6 \Rightarrow \left[ {8k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right] \vdots 6\)

Vậy \(\left[ {8k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right] \vdots \left( {8.6} \right) \Leftrightarrow A \vdots 48\) (đpcm)

c) Xét \(\left( {{8^n} - 1} \right){.8^n}.\left( {{8^n} + 1} \right)\) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp.

Dễ thấy \(\left( {{8^n},3} \right) = 1\) nên \(\left( {{8^n} - 1} \right)\left( {{8^n} + 1} \right) \vdots 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{8^n} - 1} \right) \vdots 3\\\left( {{8^n} + 1} \right) \vdots 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {{8^n} + 1} \right)\) hoặc \(\left( {{8^n} - 1} \right)\) là hợp số

\( \Rightarrow \left( {{8^n} + 1} \right)\) và \(\left( {{8^n} - 1} \right)\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link