Tìm số dư trong phép chia sau:a)\(A = {36^{38}} + {41^{33}} + 2\) cho \(7\);b) \(B = {5^{70}} + {7^{50}}\) cho

Câu hỏi số 559897:

Vận dụng

Tìm số dư trong phép chia sau:

a)\(A = {36^{38}} + {41^{33}} + 2\) cho \(7\);

b) \(B = {5^{70}} + {7^{50}}\) cho \(12\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559897

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Chia hết cho \(7\): chữ số tận cùng nhân với \(5\) rồi cộng với phần còn lại bằng một số chia hết cho \(7\)

Giải chi tiết

a) \(A = {36^{37}} + {41^{33}} + 2\)

\(\begin{array}{l} = {36^{38}} - {1^{38}} + {41^{33}} + {1^{33}} + 2\\ = \left( {36 - 1} \right)\left( {{{36}^{37}} + {{36}^{36}} + ... + 1} \right) + \left( {41 + 1} \right)\left( {{{41}^{32}} - {{41}^{31}} + ... + 1} \right) + 2\end{array}\)

\( = 35\left( {{{36}^{37}} + {{36}^{36}} + ... + 1} \right) + 42\left( {{{41}^{32}} - {{41}^{31}} + ... + 1} \right) + 2\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}35\left( {{{36}^{37}} + {{36}^{36}} + ... + 1} \right) \vdots 7\\42\left( {{{41}^{32}} - {{41}^{31}} + ... + 1} \right) \vdots 7\end{array} \right. \Rightarrow A:7\) dư \(2\)

b) \(B = {5^{70}} + {7^{50}}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{5^2}} \right)^{35}} + {\left( {{7^2}} \right)^{25}}\\ = {25^{35}} + {49^{25}}\\ = {25^{35}} - {1^{35}} + {49^{25}} - {1^{25}} + 2\\ = \left( {25 - 1} \right)\left( {{{25}^{34}} + {{25}^{33}} + ... + 1} \right) + \left( {49 - 1} \right)\left( {{{49}^{24}} + {{49}^{23}} + ... + 1} \right) + 2\\ = 24\left( {{{25}^{34}} + {{25}^{33}} + ... + 1} \right) + 48\left( {{{49}^{24}} + {{49}^{23}} + ... + 1} \right) + 2\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}24\left( {{{25}^{34}} + {{25}^{33}} + ... + 1} \right) \vdots 12\\48\left( {{{49}^{24}} + {{49}^{23}} + ... + 1} \right) \vdots 12\end{array} \right. \Rightarrow B:12\) dư \(2\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link