a) Cho \({C_n} = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\). Chứng minh rằng \({C_n} \vdots 120\). b) Cho \({a_n} =

Câu hỏi số 559898:

Vận dụng

a) Cho \({C_n} = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\). Chứng minh rằng \({C_n} \vdots 120\).

b) Cho \({a_n} = {2^{2n + 1}} + {2^{2n + 1}} + 1\) và \({b_n} = {2^{2n + 1}} - {2^{2n + 1}} + 1\). Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên có một và chỉ một trong hai số \({a_n};{b_n}\) chia hết cho \(5\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559898

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Chia hết cho \(5\): chữ số tận cùng là số \(0\) hoặc \(5\)

Giải chi tiết

a) \({C_n} = \left( {3 + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + ... + \left( {{3^{97}} + {3^{98}} + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 3\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + ... + {3^{97}}\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right)\\ = \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right)\left( {3 + {3^5} + ... + {3^{97}}} \right)\\ = 120\left( {3 + {3^5} + ... + {3^{97}}} \right) \vdots 120\end{array}\)

Vậy \({C_n} \vdots 120\) (đpcm)

b) Ta có:

+ \({a_n}.{b_n} = \left( {{2^{2n + 1}} + {2^{2n + 1}} + 1} \right)\left( {{2^{2n + 1}} - {2^{2n + 1}} + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{2^{2n + 1}} + 1} \right)^2} - {\left( {{2^{n + 1}}} \right)^2}\\ = {4^{2n + 1}} + {2.2^{2n + 1}} + 1 - {2^{2n + 2}}\\ = {4^{2n + 1}} + 1\end{array}\)

Vì \(2n + 1\) là số lẻ nên \({4^{2n + 1}} + 1 \vdots \left( {4 + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {{4^{2n + 1}} + 1} \right) \vdots 5 \Rightarrow {a_n}.{b_n} \vdots 5\left( * \right)\)\( + \left( {{a_n} - {b_n}} \right) = {2^{2n + 1}} + {2^{2n + 1}} + 1 - \left( {{2^{2n + 1}} - {2^{2n + 1}} + 1} \right) = {2^{n + 2}}\not{ \vdots }5\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right) \Rightarrow \) đpcm

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link